Hàm phi tuyến tính, phép biến đổi và sự tăng trưởng
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| vertex form/ˈvɜːteks fɔːm/ | dạng đỉnh |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | A change in form, state, nature or organisation. |
Read the form, skip the work
- $f(x) = 2(x - 3)^2 + 5$. Without any algebra, you can say the graph's lowest point is $(3, 5)$.
- SAT function questions reward choosing the form that shows what is asked: zeros, the vertex, the starting value or the growth factor.
Forms of a quadratic
- Vertex form 顶点式 $a(x - h)^2 + k$: vertex $(h, k)$. Factored form $a(x - p)(x - q)$: zeros $p$ and $q$. Standard form $ax^2 + bx + c$: $y$-intercept $c$.
- The sign of $a$ decides the shape: $a > 0$ opens up (minimum), $a < 0$ opens down (maximum).
f(x) = 2(x − 3)² + 5 has its lowest point at (3, 5)
Which form shows it directly?
Match a feature of a quadratic to the form that displays it.
What is the vertex of $y = -3(x + 2)^2 + 7$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$x + 2 = x - (-2)$, so $h = -2$ and $k = 7$.
In factored form $a(x - p)(x - q)$, the numbers $p$ and $q$ are the ____ of the function.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The factors are zero at $x = p$ and $x = q$.
Linear versus exponential change
- Linear: adds the same amount each step: $f(x) = 50 + 12x$. Exponential: multiplies by the same factor: $g(x) = 50(1.12)^x$.
- With equal steps in $x$, check differences (linear) or ratios (exponential): 4, 12, 36, 108 has ratio 3, so exponential.
A culture of 200 bacteria doubles every 3 hours: $N(t) = 200 \cdot 2^{t/3}$. After 9 hours, $N = 200 \cdot 2^3 = 1600$.
A sample of 300 bacteria triples every 2 hours. How many are there after 4 hours?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Two tripling periods: $300 \cdot 3^2 = 2700$.
The values 7, 14, 28, 56 for $x = 0, 1, 2, 3$ show exponential growth.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
True. Each value is twice the previous one, a constant ratio, so the growth is exponential, not linear.
Transformations 转化
- $f(x - 2)$ shifts the graph right 2; $f(x) + 2$ shifts it up 2; $-f(x)$ reflects it in the $x$-axis.
- Track a point: if $(1, 4)$ is on $f$, then $(3, 4)$ is on $f(x - 2)$ and $(1, 6)$ is on $f(x) + 2$.
The point $(5, 1)$ is on the graph of $f$. Which point must be on the graph of $y = f(x + 3) - 2$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$f(x + 3)$ moves left 3: $x = 2$; minus 2 moves down: $y = -1$.
Traps
- Direction of the shift: $f(x - 2)$ moves right, not left — the input must be 2 larger to give the same output.
- Vertex sign: in $(x + 3)^2 - 1$, the vertex is $(-3, -1)$, not $(3, -1)$.
Recap
- Vertex form → vertex; factored form → zeros; standard form → $y$-intercept.
- Linear adds, exponential multiplies; $f(x - h)$ moves right $h$, $f(x) + k$ moves up $k$.