Toán học: tại sao một chứng minh lại khẳng định nhiều hơn các ví dụ?
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | dự đoán |
| proof/pruːf/ | chứng minh |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | quy nạp toán học |
Một quy luật dường như tiếp diễn
- Số lẻ đầu tiên là 1; tổng của hai số lẻ đầu tiên là 4; tổng của ba số lẻ đầu tiên là 9. Một học sinh tuyên bố rằng tổng của n số lẻ dương đầu tiên luôn bằng n².
- Một giả thuyết là một tuyên bố được đề xuất đang chờ được chứng minh. Việc kiểm tra ba trường hợp gợi ý một quy luật nhưng để lại vô hạn số nguyên dương chưa được kiểm tra.
Nêu tuyên bố và miền áp dụng của nó
- Tuyên bố này liên quan đến mọi số nguyên dương n và danh sách 1, 3, 5, lên đến 2n−1. Nó không liên quan đến bất kỳ tập hợp tùy ý nào các số lẻ.
- Một bằng chứng cung cấp một chuỗi các lý do hợp lệ bao trùm miền áp dụng đã nêu. Một phản ví dụ duy nhất có thể bác bỏ một tuyên bố phổ quát, trong khi nhiều ví dụ thành công không tự bản thân chúng khẳng định điều đó.
Các tổng 1, 4 và 9 khẳng định điều gì khi xét riêng lẻ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các quan sát hữu hạn không bao phủ toàn bộ miền xác định.
Giải thích cách trường hợp tiếp theo được suy ra
- Giả sử tổng của n số lẻ dương đầu tiên bằng n². Số lẻ tiếp theo là 2n+1, nên tổng tiếp theo là n²+2n+1=(n+1)². Bước này đúng với mọi số nguyên dương n.
- Trường hợp ban đầu là n=1, nơi tổng là 1=1². Bắt đầu từ đó và áp dụng bước tổng quát để thiết lập từng trường hợp số nguyên dương liên tiếp.
Số lẻ tiếp theo sau 2n−1 là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các số lẻ liên tiếp chênh lệch nhau 2.
Kiểm tra những giả định trong lập luận
- Đây là phân loại quy nạp: một trường hợp bắt đầu hợp lệ cộng với một bước chuyển đổi từ bất kỳ trường hợp nào sang trường tiếp theo. Cả hai phần đều quan trọng. Chỉ riêng bước chuyển không thể khẳng định chuỗi bắt đầu từ đâu.
- Hỏi xem đại số, định nghĩa của số hạng tiếp theo và miền xác định có chính xác không. Một sai sót tính toán hoặc sự thay đổi trong dãy bắt đầu có thể làm vô hiệu hóa lập luận.
Một bước quy nạp hợp lệ là đủ ngay cả khi không có trường hợp bắt đầu nào được khẳng định.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sự chuyển đổi tổng quát cần một trường hợp đã được khẳng định để làm điểm khởi đầu cho chuỗi suy luận.
Tại sao tổng 3+5+7=15 không phải là phản ví dụ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Danh sách này khác với danh sách được nêu trong giả thiết.
So sánh chứng minh với quan sát một cách công bằng
- Lý do để tin tưởng nằm ở chuỗi quy tắc tổng quát, chứ không phải số lượng ví dụ đã kiểm tra. Một sơ đồ của vài hình vuông có thể giải thích ý tưởng, nhưng lập luận cần chỉ ra tại sao cấu trúc lại mở rộng được.
- Hỏi làm thế nào để sự biện minh toán học khác với việc kiểm tra các quan sát lặp đi lặp lại. Đừng suy diễn rằng chứng minh giải quyết được mọi vấn đề ngoài phạm vi giả định của nó, hay rằng thử nghiệm thực nghiệm không có giá trị riêng trong lĩnh vực của nó.
Ghép nối mỗi phần của chứng minh với vai trò của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Một chứng minh phải kết nối điểm xuất phát, bước chuyển đổi và miền áp dụng.
Những lý do nào hỗ trợ cho giả thiết phổ quát?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Lập luận chung, cùng với một trường hợp ban đầu hợp lệ, đã xác lập miền áp dụng.
Đối với n=1, tổng là 1. Giả sử tổng đến 2n−1 là n². Cộng thêm 2n+1 ta được n²+2n+1, điều này bằng (n+1)². Trường hợp cơ sở và bước chuyển tổng quát thiết lập kết quả cho tất cả các số nguyên dương. Dãy 3,5,7 có tổng là 15, không phải 9, vì nó không bắt đầu từ 1. Dãy khác đó nằm ngoài phạm vi tuyên bố ban đầu, chứ không phải là phản ví dụ cho tuyên bố đó.
Đừng dùng kết quả tính toán thành công cho n=100 như một sự thay thế cho bước chuyển tổng quát. Nó chỉ kiểm tra thêm một trường hợp nữa.
Xác định miền xác định, biện minh cho trường hợp bắt đầu và thiết lập một bước chuyển tổng quát hợp lệ; giải thích rõ ràng chứng minh thu được bao trùm những gì.