Đặt ẩn phụ,分部积分 (tích phân từng phần) và phân thức riêng phần
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | Tích phân từng phần |
Chúng ta có thể tách riêng hai thừa số để tích phân không?
- Một tích đơn giản như xe^x không thể được tích phân bằng cách tách riêng từng thừa số.
- Bài học này nghiên cứu tích phân từng phần: Một phương pháp tích phân dựa trên đạo hàm của một tích.
Chọn cấu trúc toán học
- Sử dụng đổi biến khi đạo hàm của hàm bên trong xuất hiện như một thừa số. Tích phân từng phần: tích u v' = uv - tích u' v. Đối với hàm hữu tỷ, chia trước nếu cần, sau đó phân tích thành phân số đơn giản.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Tại sao phép thế w=x²+1 phù hợp với tích phân của 2x/(x²+1)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Với w=x²+1, dw=2x dx, và tích phân trở thành ∫dw/w=ln|w|+C. Phép thế mạnh mẽ chính khi đạo hàm của hàm bên trong xuất hiện như một thừa số.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Đối với tích xe^x dx, đặt u=x và v'=e^x. Khi đó tích là xe^x-e^x+C. Đối với tích 2x/(x²+1) dx, đặt w=x²+1, dw=2x dx; kết quả là ln(x²+1)+C.
Đặt ẩn phụ,分部积分 (tích phân từng phần) và phân thức riêng phần
V/π = tích phân từ 0 đến 3 của x² dx = 9
Widget hiển thị hàm dưới dấu tích phân của thể tích là y²=x² đối với y=x; hãy so sánh giá trị chính xác 9 với việc kiểm tra thể tích.
Tính giá trị tích phân của xe^x từ 0 đến 1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Một nguyên hàm là (x-1)e^x. Tại 1 và 0 nó cho các giá trị tương ứng là 0 và -1, do đó tích phân là 1.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Việc chọn u và v' tốt rất quan trọng: tích phân còn lại nên trở nên đơn giản hơn. Trong tích phân xác định dùng đổi biến, hãy thay đổi cận hoặc quay về x trước khi áp dụng cận ban đầu.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Tích phân của một tích bằng tích của các tích phân riêng lẻ. Nhận định này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Tìm hệ số của ln(x²+1) trong tích phân của 2x/(x²+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đặt w=x²+1 suy ra dw=2x dx, nên hệ số của ln(x²+1) là 1.
Tích phân của một tích bằng tích của các tích phân riêng lẻ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Việc chọn u và v prime hợp lý rất quan trọng: tích phân còn lại nên trở nên đơn giản hơn. Trong đặt ẩn phụ xác định, hãy thay đổi giới hạn hoặc quay về biến x trước khi áp dụng các giới hạn ban đầu.
Giải thích tình huống mới
- Kiểm tra bằng cách vi phân. Đối với thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành dùng V=π tích y² dx; đừng nhầm lẫn bình phương của hàm với tích phân của hàm.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Tìm thể tích chia cho π khi y=x quay quanh trục hoành từ 0 đến 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V/π=tích phân x² dx từ 0 đến 3=[x³/3]=9.
Ghép mỗi tích phân với phương pháp phù hợp.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Chọn phương pháp dựa trên cấu trúc: đạo hàm của thành phần bên trong gợi ý đổi biến, tích các loại khác nhau gợi ý分部积分, và phân thức không chính quy cần chia trước.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- Đánh giá lần đầu tiên 2021 Phân tích và Phương pháp HL. Đây là tài liệu hỗ trợ khái niệm; cần hướng dẫn đầy đủ để chứng thực mọi mục tiêu.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Một phương pháp tích phân dựa trên đạo hàm của một tích. Chọn mối liên hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.