Binomial expansion and valid approximations
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | hệ nhị thức |
Sự thay đổi nhỏ ảnh hưởng đến lũy thừa như thế nào?
- Một thay đổi nhỏ trong số đo ảnh hưởng đến lũy thừa của đại lượng đó. Khai triển có thể cho thấy quy mô của các hiệu ứng bậc nhất và bậc hai.
- Bài học này nghiên cứu hệ nhị thức: Số cách chọn một số lượng đối tượng xác định từ một tập hợp.
Chọn cấu trúc toán học
- Với số nguyên dương n, (a+b)^n là khai triển nhị thức hữu hạn. Với n không phải số nguyên, khai triển (1+x)^n thành 1+nx+n(n-1)x²/2+... với |x|<1. Rút các hằng số ra ngoài trước khi sử dụng dạng này.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Đối với (1+x)^(-1), ba số hạng đầu tiên là 1-x+x²; tại x=0.1 điều này cho kết quả 0.91 so với giá trị chính xác 1/1.1≈0.909091.
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Một khai triển trong 2x yêu cầu |2x|<1 cho chuỗi vô hạn, không chỉ đơn thuần là |x|<1. Các khai triển có số mũ nguyên dương là hữu hạn và không bị giới hạn hội tụ đó.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Mọi khai triển nhị thức đều là một đa thức hữu hạn, bao gồm cả các lũy thừa không phải số nguyên dương. Tuyên bố này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
Giải thích tình huống mới
- Nêu miền giá trị hợp lệ cùng với xấp xỉ. Giữ đủ số hạng để đảm bảo độ chính xác yêu cầu, và phân biệt hệ số với toàn bộ số hạng chứa x.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- Đánh giá lần đầu tiên 2021 Phân tích và Phương pháp HL. Đây là tài liệu hỗ trợ khái niệm; cần hướng dẫn đầy đủ để chứng thực mọi mục tiêu.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Số cách chọn một số lượng đối tượng xác định từ một tập hợp. Chọn mối quan hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.