Nhiễu xạ Bragg và nhiệt dung khí electron
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Bragg's law/bræɡz lɔː/ | The condition 2d sin theta = n lambda for constructive reflection from crystal planes. |
| Fermi energy/ˈfɜːmi ˈenədʒi/ | năng lượng Fermi |
| lattice constant/ˈlætɪs ˈkɒnstənt/ | The side length of a crystal’s repeating unit cell. |
Planes reveal themselves at set angles
- Turn a crystal in an X-ray beam: strong reflections flash out only at particular angles, each tied to a family of atomic planes.
- GRE solid-state questions test Bragg's law 布拉格定律, cubic plane spacings, the free-electron Fermi energy 费米能 and low-temperature heat capacity.
Bragg's law
- $2d\sin\theta = n\lambda$, with $\theta$ the glancing angle from the plane, not the normal. $\sin\theta \le 1$ limits the orders.
- $\lambda = 0.154$ nm, first-order peak at $\theta = 20°$: $d = 0.154/(2\sin20°) \approx 0.225$ nm.
$\lambda = 0.154$ nm, $d = 0.30$ nm, first order. Bragg angle in degrees (one decimal place)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bragg's law $2d\sin\theta = \lambda$ gives $\sin\theta = 0.154/0.60 = 0.2567$, so $\theta = 14.9°$.
$d = 0.20$ nm, $\lambda = 0.154$ nm. Highest Bragg order observable?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Orders need $\sin\theta = n\lambda/2d \le 1$, so $n \le 2d/\lambda = 2.6$: the highest is 2.
In Bragg's law, $\theta$ is measured
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bragg angles are glancing angles measured from the lattice planes, not from their normal.
Cubic planes
- With lattice constant 晶格常数 $a$, $d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$: $(110)$ gives $a/\sqrt2$. For $a = 0.4$ nm, $d_{110} = 0.283$ nm.
- Systematic absences (body-centred: $h + k + l$ odd missing) reveal the basis.
Cubic lattice, $a = 0.50$ nm. Spacing of (111) planes in nm (three decimal places)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
For a cubic lattice $d = a/\sqrt{h^2 + k^2 + l^2} = 0.5/\sqrt3 = 0.289$ nm.
Free electrons
- $k_F = (3\pi^2n)^{1/3}$, $E_F = \dfrac{\hbar^2k_F^2}{2m}$. Copper, $n = 8.5\times10^{28}$/m³: $E_F \approx 7.0$ eV, $T_F \approx 8\times10^4$ K.
- Only a fraction $\sim T/T_F$ of electrons is thermally active — about 0.4% at room temperature.
Two heat-capacity terms
- Metals: $C = \gamma T + \beta T^3$ (electrons + lattice). Plot $C/T$ against $T^2$: intercept $\gamma$, slope $\beta$.
- Low $T$: the electronic term wins. Room temperature: the lattice dominates, near Dulong–Petit.
If $C/T = 0.7 + 0.05T^2$ (mJ mol⁻¹ K⁻²), then $\gamma = 0.7$ and $\beta = 0.05$; the two terms are equal where $0.05T^2 = 0.7$, $T \approx 3.7$ K.
Which term dominates?
Compare γT and βT³ contributions across temperatures.
At room temperature, the electronic term dominates the heat capacity of a metal.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
At room temperature the lattice (phonon) term is near its classical value and far exceeds the small electronic term.
Recap
- $2d\sin\theta = n\lambda$, $\theta$ from the planes.
- $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$.
- $E_F$ is several eV; $C = \gamma T + \beta T^3$ separates electrons from the lattice.
- Bragg's law: The condition 2d sin theta = n lambda for constructive reflection from crystal planes.
- lattice constant: The side length of a crystal’s repeating unit cell.