Quang phổ nhiệt và quy mô một electron
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | An ideal object that absorbs all incident electromagnetic radiation and emits the maximum thermal radiation possible at its temperature. |
| emissivity/ɪmɪˈsɪvɪti/ | The ratio of a surface’s thermal radiation to that of a blackbody. |
| series limit/ˈsɪəriːz ˈlɪmɪt/ | giới hạn dãy |
Peak, flux, line
- A 3000 K filament's spectrum peaks near 966 nm; its total output scales as $T^4$; a helium ion emits a sharp line at 164 nm. Three different observables, three different formulas.
- GRE questions test Planck's law, Wien and Stefan–Boltzmann, grey-body radiation and Bohr-model scaling.
Blackbody 黑体 radiation
- Planck: $B_\lambda = \dfrac{2hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{e^{hc/\lambda k_BT} - 1}$, per wavelength per solid angle. Total surface flux $\sigma T^4$.
- Wien: $\lambda_{\max}T \approx 2.898\times10^{-3}$ m·K. The peak of $B_\nu$ is not at $c/\lambda_{\max}$.
Peak wavelength of a 6000 K blackbody in nm (nearest whole)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Wien's law: $\lambda_{max} = 2.898\times10^{-3}/6000 = 4.83\times10^{-7}$ m, which is 483 nm.
A blackbody's absolute temperature doubles. By what factor does its total emitted power grow?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The Stefan–Boltzmann law gives $P \propto T^4$, so doubling $T$ multiplies the power by 16.
The spectrum per unit frequency peaks at $c/\lambda_{\max}$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The Jacobian moves the peak.
Grey bodies
- A grey surface with emissivity 发射率 $\varepsilon$ radiates net power $\varepsilon\sigma A(T^4 - T_{\text{env}}^4)$, kelvin only.
3000 K, $\varepsilon = 0.5$, $A = 2\times10^{-4}$ m², cold surroundings: $0.5 \times 5.67\times10^{-8} \times 2\times10^{-4} \times 3000^4 \approx 459$ W. A photon at the 966 nm peak carries $1240/966 \approx 1.28$ eV.
Use kelvin inside every $T^4$; a Celsius value makes the radiated power wrong by orders of magnitude.
Bohr scaling
- $r_n = a_0n^2/Z$, $v_n = Z\alpha c/n$, $E_n = -13.6Z^2/n^2$ eV. Radius and energy carry different powers of $Z$.
- Historical model: real 1s has $l = 0$, not angular momentum $\hbar$.
How does it scale?
Apply Bohr-model scaling with Z and n.
Bohr radius of the $n = 2$ orbit of Li²⁺ ($Z = 3$), in units of $a_0$ (three decimal places)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bohr radii scale as $n^2/Z$: $4/3 = 1.333\,a_0$.
Lines, limits, ionisation
- Emission: $E_\gamma = 13.6Z^2\left(\dfrac1{n_f^2} - \dfrac1{n_i^2}\right)$, $\lambda = 1240/E_\gamma$ nm. Series limit 谱线系限: $n_i \to \infty$.
- He⁺ $3 \to 2$: $7.56$ eV, 164 nm. Ionising from $n = 3$ needs only $54.4/9 = 6.04$ eV.
The Balmer series limit ($n_f = 2$) of hydrogen is at about
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The Balmer limit is the ionisation energy from $n = 2$, 3.4 eV, so $\lambda = 1240/3.4 \approx 365$ nm.
Recap
- $\lambda_{\max} \propto 1/T$; flux $\propto T^4$.
- Grey body: $\varepsilon\sigma A(T^4 - T_{\text{env}}^4)$.
- $r \propto n^2/Z$, $E \propto Z^2/n^2$; transitions differ from ionisation.
- emissivity: The ratio of a surface’s thermal radiation to that of a blackbody.