Các trạng thái liên kết trong giếng tiềm năng hữu hạn và các số lượng tử hydro-like
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| bound state/baʊnd steɪt/ | trạng thái bị ràng buộc |
| radial probability density/ˈreɪdɪəl ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | mật độ xác suất theo bán kính |
Quyết định trước khi trả lời
- Một hàm sóng bị giới hạn có thể mở rộng ra ngoài một giếng tiềm năng hữu hạn ngay cả khi năng lượng của hạt thấp hơn thế năng bên ngoài.
- Mục tiêu của bạn: Khớp các trạng thái giếng tiềm năng hữu hạn phân rã và suy ra các điều kiện lượng hóa phụ thuộc vào tính chẵn lẻ.
Khớp đường tiệm cận của trạng thái bị giới hạn
- Declare một giếng đối xứng V=−V₀ cho |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 và cùng khối lượng trên toàn bộ. Năng lượng bị giới hạn nằm giữa −V₀ và không. Bên trong, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ cho nghiệm dao động; bên ngoài, κ=√(−2mE)/ℏ cho phần đuôi phân rã. Loại bỏ các số mũ tăng để thu được trạng thái chuẩn hóa.
- Tính đối xứng phản xạ cho phép các trạng thái cos(kx) chẵn bên trong hoặc sin(kx) lẻ. Tại các biên hữu hạn không có tương tác delta, cả ψ và ψ′ đều liên tục. Điều kiện khớp chẵn cho ta k tan(ka)=κ; điều kiện khớp lẻ cho ta −k cot(ka)=κ. Hố thế hữu hạn không yêu cầu ψ phải triệt tiêu tại các cạnh như trường hợp hố thế vô hạn.
For a finite square well with equal mass on both sides and no delta interaction, boundary matching requires:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both wavefunction and first derivative are continuous at a finite step under these assumptions.
Giải một gốc không thứ nguyên
- Đặt z=ka và ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Khi đó κa=√(ρ²−z²) và 0<z<ρ. Giải z tan z=√(ρ²−z²) cho trạng thái chẵn, hoặc −z cot z=√(ρ²−z²) cho trạng thái lẻ, trên các khoảng có dấu phù hợp và tránh các cực của hàm tangent. Năng lượng thu được là E/V₀=z²/ρ²−1.
- Với ρ=1, gốc cơ bản nằm trong 0<z<1 và phương trình chẵn tương đương tại đó với z=cos z. Bifecta hoặc máy tìm gốc hội tụ cho z≈0.739085 và E/V₀≈−0.453753. Vì ρ<π/2, không có nhánh trạng thái bị giới hạn lẻ nào phù hợp. Trong một chiều, giếng vuông hấp dẫn luôn có trạng thái cơ bản chẵn bất kể độ sâu nào; phần đuôi ngưỡng E=0 không bình phương tích phân được.
For a hydrogenic orbital n=4, which pair (l,m_l) is allowed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
l can be 0 through 3, and |m_l| cannot exceed l.
Chuẩn hóa phần bên trong và phần đuôi
- Đối với trạng thái bị giới hạn chẵn, viết ψ=A cos(kx) bên trong và ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] bên ngoài. Tính liên tục xác định biên độ đuôi tương đối; tích phân |ψ|² trên cả phần bên trong và phần đuôi để xác định A. Xác suất bên ngoài giếng là khác không và phụ thuộc vào độ sâu, độ rộng và trạng thái đã chọn.
- Các trạng thái bị giới hạn có năng lượng rời rạc và đường tiệm phân rã chuẩn hóa. Một trạng thái tán xạ với E>0 có sóng truyền bên ngoài và được chuẩn hóa hoặc diễn giải theo quy ước liên tục/lưu lượng. Phần đuôi phân rã không phải là bằng chứng cho thấy trạng thái vi phạm bảo toàn năng lượng, và biên độ đuôi thô không phải là xác suất bên ngoài cho đến khi nó đã được tích phân và chuẩn hóa.
Đối với ρ=1, z≈0.739085 cho κa≈0.673612 và E≈−0.453753V₀; trạng thái cơ bản chẵn rò rỉ vượt quá ±a nhưng phân rã ở vô cực. Đối với ion Z=2 một electron trong n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. Các giá trị l cho phép của nó là 0 và 1, tạo ra bốn trạng thái không gian trước spin. Trong orbital hydrogen 1s, mật độ bán kính đạt cực đại tại a₀ vì yếu tố vỏ r² bù đắp mật độ điểm giảm; tích phân mật độ bán kính cho ⟨r⟩=3a₀/2.
For n=4 in the nonrelativistic Coulomb model, spatial degeneracy before spin is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Σ_l=0 to 3 (2l+1)=1+3+5+7=16.
Chọn thước đo xác suất hydro-like
- Đối với ion Coulomb một electron với điện tích hạt nhân Ze, sử dụng mô thế trung tâm phi tương đối và xấp xỉ hạt nhân nặng trừ khi khối lượng rút gọn được chỉ định. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; các số orbital cho phép là n≥1, l=0,…,n−1 và m_l=−l,…,l. L² có eigenvalue l(l+1)ℏ² và L_z=m_lℏ; orbital s cơ bản 1 có l=0, mặc dù quy tắc quỹ đạo tròn Bohr lịch sử.
- Suy biến không gian tại n cố định là Σ_l(2l+1)=n² trước spin và các hiệu chỉnh cấu trúc tinh tế. Nếu ψ=R_nl(r)Y_lm với phần góc chuẩn hóa, xác suất bán kính trong dr là r²|R|²dr, không chỉ đơn thuần là |R|²dr. Đối với hydrogen 1s, mật độ bán kính là 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: nó đạt cực đại tại r=a₀ và có giá trị trung bình 3a₀/2, trong khi mật độ điểm ba chiều lớn nhất tại gốc tọa độ. Phân biệt các thước đo này trước khi tìm bán kính có xác suất cao nhất.
Sử dụng thế năng zero đã khai báo, khớp ψ′ cũng như ψ, và bao gồm thước đo vỏ bán kính. Một phần đuôi bị giới hạn và sóng du hành liên tục có các chế độ năng lượng khác nhau.
Câu trả lời nào phù hợp với trường hợp này?
Gắn kết các trạng thái giếng hữu hạn phân rã và suy ra điều kiện lượng tử hóa phụ thuộc vào tính chẵn lẻ
A finite-well bound state can have nonzero probability outside the well while decaying at infinity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Its external exponential tails are nonzero near the edges but integrable for κ>0.
Giữ nguyên sự phân biệt
- trạng thái bị giới hạn — Trạng thái dừng chuẩn hóa với xác suất bị giam giữ và năng lượng rời rạc trong mô hình đã chỉ định.
- mật độ xác suất bán kính — Xác suất trên mỗi đơn vị khoảng cách bán kính, bao gồm thước đo vỏ cầu sau khi tích phân góc.
- Ghép nối các trạng thái giếng hữu hạn phân rã và suy ra các điều kiện lượng hóa phụ thuộc vào tính chẵn lẻ.
- Giải thích các nghiệm vô tỷ của trạng thái liên kết và phân biệt sự giam giữ với sự tán xạ.
- Sử dụng số lượng tử hydro, động lượng góc và các đại lượng đo xác suất bán kính.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.