Sự chiếm hữu lượng tử và giới hạn của phân bổ đều
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| occupation/ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | The mean number of particles in one quantum state. |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | phân bổ đều năng lượng |
| chemical potential/ˈkemɪkl pəˈtenʃl/ | The energy change on adding one particle to a system. |
A level is not a state
- A fermion energy level with five distinct states can hold up to five fermions. The Pauli limit is one per complete state, spin included.
- GRE quantum-statistics questions test occupation 占据数 numbers, counting, the classical limit and when equipartition 能量均分 fails.
A fermion energy level can never hold more than one fermion.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
One per complete state; a degenerate level has several.
Mean occupations
- With chemical potential 化学势 $\mu$ and $x = (\varepsilon - \mu)/k_BT$: fermions $\bar n = \dfrac{1}{e^x + 1}$ (0 to 1), bosons $\bar n = \dfrac{1}{e^x - 1}$ (can exceed 1). A level of degeneracy $g$ holds $g\bar n$.
- Photons have $\mu = 0$ (number not conserved); material gases do not in general.
At $x = \ln3$, the mean occupations of one state are
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Mean occupations are $1/(e^x + 1)$ for fermions and $1/(e^x - 1)$ for bosons; with $e^x = 3$ these are 1/4 and 1/2.
Counting two particles
- 4 complete states: two identical fermions $\binom42 = 6$; two identical bosons $\binom52 = 10$; two labelled particles $4^2 = 16$.
- Opposite-spin fermions can share one spatial orbital: they occupy different complete states.
How many ways can two identical fermions occupy 5 distinct complete states?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Fermions cannot share a state and are indistinguishable: choose 2 of 5 states, $\binom52 = 10$.
And two identical bosons in the same 5 states?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bosons may share a state: $\binom{5+2-1}{2} = \binom62 = 15$.
The classical limit
- Large $x$: both tend to $e^{-x}$ (Maxwell–Boltzmann). At $x = \ln4$: fermions $\tfrac15$, bosons $\tfrac13$, classical $\tfrac14$ — still clearly different.
- Fermions at low $T$: full below $\mu$, empty above, $\bar n = \tfrac12$ at $\varepsilon = \mu$.
Equipartition and its limits
- Classically, each quadratic term contributes $\tfrac12k_BT$: monatomic gas $C_V = \tfrac32Nk_B$; oscillator $C = k_B$.
- Quantum oscillator: $C/k_B = \dfrac{x^2e^x}{(e^x - 1)^2}$, $x = \hbar\omega/k_BT$. Frozen out when $k_BT \ll \hbar\omega$ (molecular vibrations at room temperature).
$x = \ln2$: mean excitation energy $\dfrac{\hbar\omega}{e^x - 1} = \hbar\omega$ and $C/k_B = 2(\ln2)^2 \approx 0.961$, close to, but below, the classical 1.
Equipartition — active or frozen?
Compare kT with the level spacing for each degree of freedom.
Molar $C_V$ of a diatomic gas at room temperature, in units of $R$ (vibration frozen)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
3 translational + 2 rotational quadratic terms.
Recap
- $1/(e^x + 1)$ for fermions, $1/(e^x - 1)$ for bosons, per complete state.
- Count identical particles by occupation patterns.
- Equipartition needs $k_BT \gg$ the level spacing.
- occupation: The mean number of particles in one quantum state.
- chemical potential: The energy change on adding one particle to a system.