Khung tham chiếu gia tốc và quay
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| apparent force/əˈpærənt fɔːs/ | A term that appears only because the frame of reference accelerates. |
| Coriolis/ˌkɒrɪˈəʊliz/ | The rotating-frame force minus 2m Omega cross v on a moving body. |
| centrifugal/ˌsentrɪˈfjuːɡl/ | Directed outward from the rotation axis in a rotating frame. |
Standing still still takes a force
- A person standing on a turning carousel has no acceleration relative to it, yet the floor must push them inward. In the carousel's frame, an outward apparent force 惯性力 balances that push.
- GRE mechanics tests accelerating frames, the Coriolis 科里奥利, centrifugal 离心的 and Euler terms, and their directions.
Translating frames
- $m\mathbf a' = \mathbf F_{\text{real}} - m\mathbf A$. Elevator accelerating up at $a$: $N = m(g + a)$.
- 10 kg passenger, $a = 2$ m/s², $g = 10$: $N = 120$ N. Same physics as the ground-frame $N - mg = ma$.
50 kg person in an elevator accelerating downward at 3 m/s² ($g = 10$). Normal force in N?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Accelerating downward reduces the normal force: $N = m(g - a) = 50 \times 7 = 350$ N.
Rotating frames
- $m\mathbf a' = \mathbf F - 2m\boldsymbol\Omega \times \mathbf v' - m\boldsymbol\Omega \times (\boldsymbol\Omega \times \mathbf r) - m\dot{\boldsymbol\Omega} \times \mathbf r$.
- Coriolis (needs relative velocity $\mathbf v'$), centrifugal (outward from the axis, $m\Omega^2r$), Euler (only if $\Omega$ changes).
Which apparent forces act?
Decide which rotating-frame terms are nonzero.
1 kg, $\Omega = 0.5$ rad/s, relative speed 4 m/s perpendicular to $\Omega$. Coriolis magnitude in N?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The Coriolis force is $2m\Omega v = 2 \times 1 \times 0.5 \times 4 = 4$ N when $v$ is perpendicular to $\Omega$.
0.5 kg at 2 m from the axis, $\Omega = 3$ rad/s. Centrifugal magnitude in N?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The centrifugal force is $m\Omega^2 r = 0.5 \times 9 \times 2 = 9$ N.
Getting directions right
- $\boldsymbol\Omega$ along $+z$ (anticlockwise from above), particle on $+x$ moving outward along $+x$: centrifugal $+x$; $\boldsymbol\Omega \times \mathbf v' = +y$, so Coriolis points $-y$.
$m = 2$ kg, $\Omega = 2$ rad/s, $r = 1$ m, $v' = 3$ m/s outward: centrifugal $2 \cdot 4 \cdot 1 = 8$ N along $+x$; Coriolis $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ N along $-y$. With no real force, $\mathbf a' = (4, -12)$ m/s².
$\boldsymbol\Omega$ along $+z$; a particle moves with $\mathbf v'$ along $+y$. The Coriolis force points along
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Ω × v′ ∝ ẑ × ŷ = −x̂; times −2m gives +x.
Checks
- At rest on a steady platform, the real force is $m\Omega^2r$ inward. Coriolis does no work ($\perp \mathbf v'$).
- Set $\Omega \to 0$, $A \to 0$: ordinary Newtonian motion must return.
The Coriolis force does no work on a particle moving in the rotating frame.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
True. It is $-2m\,\boldsymbol\omega \times \mathbf v'$, always perpendicular to the relative velocity $\mathbf v'$, so it changes direction but not speed.
Recap
- Translating frame: subtract $m\mathbf A$.
- Coriolis $-2m\boldsymbol\Omega \times \mathbf v'$ uses relative velocity.
- Centrifugal outward from the axis; Euler only when $\Omega$ changes.
- apparent force: A term that appears only because the frame of reference accelerates.
- Coriolis: The rotating-frame force minus 2m Omega cross v on a moving body.
- centrifugal: Directed outward from the rotation axis in a rotating frame.