Tán xạ, suy biến và toán tử Pauli
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| degeneracy/dɪˈdʒenərəsi/ | bậc suy biến |
| Pauli matrices/ˈpɔːli ˈmeɪtrɪsiːz/ | The three 2 by 2 matrices that represent spin one-half. |
| transmission/trænˈsmɪʃn/ | The probability that a particle passes a step or barrier. |
Reflection from a downhill step
- A quantum particle running onto a downward potential step partly reflects — even though nothing classical would turn it back.
- GRE quantum questions test step scattering, oscillator degeneracy 简并度 and Pauli matrices 泡利矩阵.
Steps and wave numbers
- For $E > V$: $\psi \propto e^{\pm ikx}$ with $k = \sqrt{2m(E - V)}/\hbar$. Match $\psi$ and $\psi'$ at the step; only a transmitted wave on the far side.
- $r = \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}$, $t = \dfrac{2k_1}{k_1 + k_2}$; $R = |r|^2$, $T = \dfrac{k_2}{k_1}|t|^2$.
Probability current
- The transmission 透射 probability $T$ carries the factor $k_2/k_1$ because current is proportional to $k$. Then $R + T = 1$.
$k_2 = 3k_1$: $r = -\tfrac12$, $t = \tfrac12$. $R = \tfrac14$, $T = 3 \cdot \tfrac14 = \tfrac34$. Adding $|t|^2$ alone would give $\tfrac12$ in total.
A step with $k_2 = 2k_1$. Reflection probability $R$ (three decimal places)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The reflection amplitude is $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2) = -1/3$, so $R = r^2 = 1/9 = 0.111$.
At a potential step, $R + |t|^2 = 1$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The current factor k₂/k₁ is needed.
The 3D isotropic oscillator
- $E = (N + \tfrac32)\hbar\omega$, $N = n_x + n_y + n_z$. Degeneracy $\dfrac{(N + 1)(N + 2)}{2}$ (spin zero): 1, 3, 6, 10, …
- $N = 2$: permutations of $(2,0,0)$ and $(1,1,0)$, six states.
Spatial degeneracy of the level $E = \tfrac{11}{2}\hbar\omega$ of a 3D isotropic oscillator?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$E = (N + \tfrac32)\hbar\omega$ gives $N = 4$; the degeneracy is $(N+1)(N+2)/2 = 15$.
Pauli matrices
- $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\i&0 \end{pmatrix}$, $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$; each squares to $I$.
- $\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z$ (cyclic $x \to y \to z$); reverse order flips the sign. Spin: $S_i = \tfrac\hbar2\sigma_i$.
Pauli products
Evaluate products of Pauli matrices from cyclic order.
$\sigma_y\sigma_z$ equals
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Pauli matrices obey $\sigma_j\sigma_k = i\epsilon_{jkl}\sigma_l$; in the cyclic order y, z, x this gives $\sigma_y\sigma_z = i\sigma_x$.
Each Pauli matrix squared equals the ____ matrix.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Every Pauli matrix has eigenvalues ±1, so each squares to the identity: $\sigma_i^2 = I$.
Recap
- Match $\psi$ and $\psi'$; $T$ includes $k_2/k_1$.
- Oscillator degeneracy $(N+1)(N+2)/2$.
- $\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij}I + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$.
- Pauli matrices: The three 2 by 2 matrices that represent spin one-half.
- transmission: The probability that a particle passes a step or barrier.