Độ hoàn chỉnh metric và bao đóng từ cơ sở
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| complete metric space/kəmˈpliːt ˈmetrɪk speɪs/ | Không gian đo lường đầy đủ |
| neighbourhood basis/ˈneɪbəhʊd ˈbeɪsɪs/ | Cơ sở lân cận |
Quyết định trước khi trả lời
- Thay đổi công thức khoảng cách có thể khiến một dãy trở thành dãy Cauchy ngay cả khi các giá trị thông thường của nó tăng vô hạn. Giới hạn liên quan vẫn phải là một điểm trong không gian metric.
- Mục tiêu của bạn: Kiểm tra metric kéo ngược bằng cách sử dụng các tính chất của ánh xạ xác định nó.
Đọc mối quan hệ
- Đối với ánh xạ đơn射 h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| là một metric: tính đối xứng và bất đẳng thức tam giác đến từ R, và tính đơn射 đảm bảo d(x,y)=0 chỉ khi x=y. Ánh xạ h là một đồng dạng lên ảnh h(X). Nếu h không đơn射, việc xây dựng này có thể chỉ là pseudometric. Khoảng cách bị chặn không chứng minh một không gian hoàn chỉnh, và một tập hợp điểm quen thuộc có thể có hành vi Cauchy rất khác nhau dưới các metric khác nhau.
- Quyết định tính hoàn chỉnh thông qua ảnh của một đồng dạng.
Which statement holds for d(x,y)=|arctan x−arctan y| on R?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The injective map defines a metric. The image is an open bounded interval, and arctan n tends to a missing endpoint.
Áp dụng quy tắc xác định
- Metric kéo ngược hoàn chỉnh chính xác khi ảnh h(X) hoàn chỉnh trong khoảng cách thực thông thường. Một tập con đóng của R là hoàn chỉnh. Với h(x)=arctan x trên R, ảnh là (−π/2,π/2), bỏ qua các đầu mút. Dãy n là Cauchy trong metric kéo ngược vì arctan n→π/2, nhưng không có thực x nào có arctan x=π/2, nên metric không hoàn chỉnh. Với h(x)=x³, ảnh là toàn bộ R và metric kéo ngược là hoàn chỉnh. Chỉ tương đương topological không bảo toàn tính hoàn chỉnh.
- Xác định bao đóng bằng cách sử dụng mọi lân cơ cơ bản thay vì trực giác Euclid.
For the divisor basis in the lesson, which point belongs to closure of {8}?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Closure consists of multiples of 8. The point 16 has every neighbourhood containing 8; U_4 demonstrates why the divisor 4 does not belong.
Check the conditions
- Trong một topology có cơ sở, x nằm trong bao đóng của A khi mọi lân cơ mở cơ bản của x đều giao A. Đây là một kiểm tra thành viên, không tự động là phép toán đầu mút Euclid. Cơ sở phải phủ không gian, và đối với một điểm trong hai tập cơ sở thì phải có một tập cơ sở nhỏ hơn chứa nó trong phần giao của chúng. Một điểm có thể nằm trong bao đóng của một tập đơn element ngay cả khi nó không phải là điểm của chính tập đơn element đó; khả năng này phụ thuộc vào topology.
- Xác định bao đóng bằng cách sử dụng mọi lân cơ cơ bản thay vì trực giác Euclid.
Dưới metric d(x,y)=|arctan x−arctan y|, dãy số nguyên tiến về một điểm cuối bị thiếu trong ảnh thay vì một điểm của R, nên nó là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong không gian đó. Trong cơ sở ước số, 16 nằm trong bao đóng của {8}, vì bất kỳ tập cơ sở nào chứa 16 cũng chứa 8. Nhưng 4 không nằm ở đó: U_4={2,4} là một lân cận của 4 mà thiếu 8. Điều này tách biệt rõ ràng các bội số khỏi các ước số.
For h(x)=x³, d(1,2)=|h(1)−h(2)| is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The transformed coordinates are 1 and 8, with difference 7.
Áp dụng định dạng nhiệm vụ
- Trên X={2,3,4,…}, lấy các tập cơ sở U_k={n in X: n divides k}, với k≥2. Chúng phủ X vì x∈U_x; các giao nhau là U_gcd(k,l) khi gcd lớn hơn hoặc bằng 2, hoặc rỗng. Một điểm x nằm trong bao đóng của {n} chính xác khi mọi k chia hết cho x cũng chia hết cho n: tương đương n chia hết cho x. Trực tiếp hơn, lân cận cơ sở nhỏ nhất U_x chứa n chính xác khi n chia hết cho x, và mọi lân cận khác chứa x đều bao gồm các ước số này. Do đó bao đóng của {8} gồm các bội số dương của 8, không phải các ước số của 8.
- Xác định bao đóng bằng cách sử dụng mọi lân cơ cơ bản thay vì trực giác Euclid.
Một giới hạn Cauchy phải thuộc cùng không gian. Tính hoàn chỉnh là một tính chất metric, không chỉ là tính chất topological. Đối với bao đóng, hãy kiểm tra mọi lân cơ của điểm ứng viên, thay vì mọi lân cơ của giá trị tập đơn element.
Câu trả lời nào phù hợp với trường hợp này?
Kiểm tra metric kéo về (pullback metric) bằng cách sử dụng các tính chất của ánh xạ xác định nó
Two metrics defining the same topology must either both be complete or both be incomplete.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ordinary distance and the arctan pullback give the usual topology on R, but only ordinary distance is complete.
Giữ nguyên sự phân biệt
- không gian metric hoàn chỉnh — Một không gian metric trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ về một điểm của không gian đó.
- cơ sở lân cơ — Các lân cơ cơ bản đủ để kiểm tra các tính chất topological cục bộ.
- Kiểm tra metric kéo ngược bằng cách sử dụng các tính chất của ánh xạ xác định nó.
- Quyết định tính hoàn chỉnh thông qua ảnh của một đồng dạng.
- Xác định bao đóng bằng cách sử dụng mọi lân cơ cơ bản thay vì trực giác Euclid.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.