Vi phân ẩn và ma trận Jacobian nghịch đảo
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/ | The matrix of first partial derivatives of a map between coordinate systems. |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Differentiating an equation involving two variables while treating one variable as a function of the other. |
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | nghịch đảo cục bộ |
Not the reciprocal
- $x = u + v$, $y = u + 2v$. Since $\partial x/\partial u = 1$, is $\partial u/\partial x = 1$? No — holding $y$ fixed forces $v$ to change too. The answer is 2.
- GRE multivariable questions test the Jacobian 雅可比行列式, its inverse, and implicit differentiation 隐函数求导 of coupled equations.
For a map of two variables, $\partial u/\partial x$ always equals $1/(\partial x/\partial u)$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The other input also adjusts.
The Jacobian
- $F(u,v) = (f, g)$ has $J = \begin{pmatrix} f_u & f_v \\ g_u & g_v \end{pmatrix}$, and $(dx, dy)^T \approx J\,(du, dv)^T$.
- Finding $u_x$ with $y$ fixed means solving $f_u u_x + f_v v_x = 1$, $g_u u_x + g_v v_x = 0$ together.
At $(u, v) = (1, 2)$, the Jacobian determinant of $(x, y) = (uv, u + v)$ is
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$v \cdot 1 - u \cdot 1 = 2 - 1$.
The inverse Jacobian
- If $F$ is $C^1$ and $\det J \neq 0$, a local inverse 局部逆映射 exists with derivative $J^{-1} = \dfrac{1}{\det J}\begin{pmatrix} g_v & -f_v \\ -g_u & f_u \end{pmatrix}$.
- So $u_x = g_v/\det J$, $v_y = f_u/\det J$. Local only: no global inverse is promised.
$x = u^2 + v$, $y = u - v$ at $(u,v) = (1,0)$: $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\det J = -3$, $J^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & -2/3 \end{pmatrix}$. So $u_x = \tfrac13$, not $1/f_u = \tfrac12$.
$x = u + 2v$, $y = 3u + 4v$. Find $\partial u/\partial x$ (with $y$ fixed).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\det J = -2$; $u_x = g_v/\det J = 4/(-2)$.
Same map: find $\partial v/\partial y$ (with $x$ fixed).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
By the inverse function theorem, J⁻¹ = (1/det J)·adj J, so ∂v/∂y = f_u / det J. With f_u = 1 and det J = −2 this is −0.5.
Implicit systems
- For $H(u,v,x,y) = 0$, $K(u,v,x,y) = 0$: differentiate in $x$ and solve $\begin{pmatrix} H_u & H_v \\ K_u & K_v \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_x \\ v_x \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} H_x \\ K_x \end{pmatrix}$.
- A zero determinant makes the theorem inconclusive; it does not prove that no solution exists.
A zero Jacobian determinant at a point does not by itself rule out a local inverse.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
True. The inverse function theorem is then inconclusive: $x^3$ has derivative 0 at 0 yet is invertible.
Sensitivity or area?
Entries of $J^{-1}$ give sensitivities like $u_x$. A change of variables in an integral uses $|\det J|$. Do not swap them.
Inverse entry or |det J|?
Use the right Jacobian quantity for the task.
Recap
- State what is held fixed; differentiate every equation.
- $\det J \neq 0$ gives a local $C^1$ inverse with derivative $J^{-1}$.
- $1/f_u$ works only for one variable.
- Jacobian: The matrix of first partial derivatives of a map between coordinate systems.