Hệ số tích phân và phương trình vi phân không thuần nhất
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | nghiệm riêng |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | thừa số tích phân |
| resonance/ˈrezənəns/ | A large oscillation response when a system is driven near one of its natural frequencies. |
Forcing leaves a mark
- $y'' - 3y' + 2y = 4$ has the unforced solutions $C_1e^x + C_2e^{2x}$, but these never equal 4 on the right. The forcing adds a particular solution 特解.
- GRE differential equations test integrating factors 积分因子, $y_h + y_p$, and the resonance 共振 case.
Integrating factors
- $y' + p(x)y = q(x)$: multiply by $\mu = e^{\int p\,dx}$; the left side becomes $(\mu y)'$, so $y = \mu^{-1}\left(\int \mu q\,dx + C\right)$.
$y' + 2xy = x$, $y(0) = 1$. $\mu = e^{x^2}$: $(e^{x^2}y)' = xe^{x^2}$, so $e^{x^2}y = \tfrac12 e^{x^2} + C$, $y = \tfrac12 + Ce^{-x^2}$. Then $C = \tfrac12$.
An integrating factor for $y' + \frac{2}{x}y = x$ on $x > 0$ is
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
For y′ + P(x)y = Q(x), μ = e^{∫P dx} = e^{∫2/x dx} = e^{2 ln x} = x² (on x > 0).
$y' + y = 1$, $y(0) = 3$. Find $y(\ln 2)$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$y = 1 + 2e^{-x}$; at $\ln 2$ this is $1 + 1$.
Homogeneous plus particular
- $ay'' + by' + cy = r(x)$: $y = y_h + y_p$. $y_h$ from the characteristic roots; $y_p$ by a trial matching $r$.
- $y'' - 3y' + 2y = 4$: roots 1, 2; trial $y_p = A$ gives $2A = 4$, so $y = C_1e^x + C_2e^{2x} + 2$.
- Trials: polynomial → polynomial of the same degree; $e^{kx}$ → $Ae^{kx}$; $\sin, \cos$ → both.
$y'' + y' - 6y = 12$ has a constant particular solution $y_p$. Find it.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Try y_p = A: then y_p′ = y_p″ = 0, so −6A = 12 and A = −2.
The constants $C_1, C_2$ should be fitted to the initial conditions before adding $y_p$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
False. The general solution is y = y_h + y_p, and the initial conditions apply to that whole sum. Fitting C₁, C₂ to y_h alone ignores y_p's contribution at t = 0.
Resonance
If the trial already solves the homogeneous equation, multiply by $x$ (by $x^2$ for a repeated root). For $y'' - 3y' + 2y = e^x$, $Ae^x$ gives 0; $Axe^x$ gives $-Ae^x$, so $y_p = -xe^x$.
Choose the trial
Pick a particular-solution trial, including resonance.
The correct trial for $y'' - y = e^x$ is
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
e^x solves the homogeneous equation (simple root 1).
Apply conditions last
- Find $C_1, C_2$ only after adding $y_p$. Verify the final answer in the original equation, not only at the initial point.
Recap
- Linear first order: $\mu = e^{\int p}$ makes the left side $(\mu y)'$.
- Second order: $y_h + y_p$, with the trial matching the forcing.
- Duplicate trial → multiply by $x$.