Khái triển Taylor và biên của chuỗi lũy thừa
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | số dư |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | bán kính hội tụ |
Quyết định trước khi trả lời
- Một đa thức có thể xấp xỉ một hàm siêu việt gần một điểm, nhưng một phép xấp xỉ mà không có giới hạn sai số có thể dẫn đến bất đẳng thức sai.
- Mục tiêu của bạn: Xây dựng các đa thức Taylor và kiểm soát sai số xấp xỉ.
Đọc mối quan hệ
- Đa thức Taylor bậc m tại a là tổng của f^(k)(a)(x−a)^k/k! với k chạy từ 0 đến m. Số nhân phân thuộc về mỗi hệ số. Nếu đạo hàm tiếp theo bị chặn bởi M về mặt độ lớn trong khoảng từ a đến x, thì phần dư Lagrange có độ lớn tối đa là M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Tính trơn (smoothness) đơn thuần không đảm bảo rằng chuỗi Taylor vô hạn bằng hàm số ở mọi nơi.
- Xác định bán kính hội tụ và kiểm tra các đầu mút riêng biệt.
What is the coefficient of x³ in the Maclaurin series of e^(2x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 2³/3!=8/6=4/3; the factorial cannot be omitted.
Áp dụng quy tắc xác định
- Một chuỗi lũy thừa sum c_n(x−a)^n hội tụ tuyệt đối bên trong bán kính R và phân kỳ bên ngoài nó. Các xét nghiệm tỷ lệ hoặc căn thức thường xác định R, với các giá trị có thể là 0 và vô cùng. Tại x=a−R và x=a+R, xét nghiệm thường trở nên không kết luận được; hãy thay thế từng đầu mút vào chuỗi gốc. Hai hành vi ở đầu mút có thể khác nhau.
- Vi分和 and integrate chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của chúng.
Which is the interval of convergence of sum x^n/n² for n≥1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The radius is 1 and both endpoints converge absolutely by comparison with sum 1/n².
Check the conditions
- Trong khoảng hội tụ mở, vi phân và tích phân từng số hạng bảo toàn bán kính. Chúng có thể thay đổi việc các điểm cuối có được bao gồm hay không. Bắt đầu từ chuỗi hình học 1/(1−x)=sum x^n với |x|<1, rồi tích phân từ 0 đến x để thu được −ln(1−x)=sum x^n/n với n≥1. Kiểm tra hằng số tích phân và miền logarit thực.
- Vi分和 and integrate chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của chúng.
Đối với sum x^n/n với n≥1, xét nghiệm tỷ lệ cho bán kính là 1. Tại x=1, đó là chuỗi điều hòa phân kỳ; tại x=−1, đó là chuỗi xen kẽ hội tụ. Do đó, khoảng hội tụ thực của nó là [−1,1). Vi分时 bên trong thu được sum x^(n−1)=1/(1−x), không hội tụ ở cả hai đầu mút. Bán kính vẫn giữ nguyên là 1 trong khi việc bao gồm đầu mút đã thay đổi.
The limit of (e^x−1−x)/x² as x tends to zero is ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x=1+x+x²/2+O(x³), leaving a quotient tending to 1/2.
Áp dụng định dạng nhiệm vụ
- Chuỗi cũng giải quyết các dạng giới hạn có thể loại bỏ được. Để tính (e^x−1−x)/x² gần 0, hãy giữ lại hạng tử còn lại đầu tiên x²/2 thay vì chỉ sử dụng e^x≈1+x. Việc cắt xé tiệm cận thiết lập giới hạn; một bất đẳng thức trên khoảng hữu hạn cần một lập luận riêng về dấu hoặc độ lớn của phần dư. Đừng thay thế vào một chuỗi nằm ngoài khoảng hội tụ của nó.
- Vi分和 and integrate chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của chúng.
Một bán kính không phải là một khoảng hội tụ hoàn chỉnh. Các xét nghiệm đầu mút và hệ số nhân phân phải được kiểm tra rõ ràng.
Câu trả lời nào phù hợp với trường hợp này?
Xây dựng đa thức Taylor và kiểm soát sai số xấp xỉ
Differentiating a power series always preserves endpoint convergence.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sum x^n/n converges at −1, but its differentiated geometric series does not.
Giữ nguyên sự phân biệt
- bán kính hội tụ — Khoảng cách từ tâm của chuỗi bên trong đó chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối.
- phần dư — Sự chênh lệch giữa một hàm số và xấp xỉ hữu hạn của nó.
- Xây dựng các đa thức Taylor và kiểm soát sai số xấp xỉ.
- Xác định bán kính hội tụ và kiểm tra các đầu mút riêng biệt.
- Vi分和 and integrate chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của chúng.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.