Vòng, lý tưởng và mô-đun
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| unit/ˈjuːnɪt/ | Agreed reference quantities used to express measurements or counts. |
| ideal/aɪˈdɪəl/ | Ideal (Lý tưởng) |
| torsion/ˈtɔːʃn/ | uốn cong |
Two nonzero numbers, product zero
- In $\mathbb Z/6$, $2 \cdot 3 = 0$. So $2x = 2 \cdot 4$ does not imply $x = 4$: $x = 1$ works too.
- GRE ring theory tests units 单位, zero divisors, ideals 理想, quotient rings and modules. Assume a commutative ring with $1 \neq 0$ unless told otherwise.
Units, zero divisors, domains, fields
- Unit: has an inverse. Zero divisor: nonzero $a$ with $ab = 0$ for some nonzero $b$. Integral domain: no zero divisors, so nonzero factors cancel. Field: every nonzero element a unit.
- In $\mathbb Z/n$: units are $a$ with $\gcd(a,n) = 1$; the other nonzero residues are zero divisors.
Units and zero divisors in ℤ/12
Classify residues by their gcd with the modulus.
How many units does $\mathbb Z/12\mathbb Z$ have?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The units of ℤ/12ℤ are the residues coprime to 12: 1, 5, 7, 11. That is φ(12) = 4.
In $\mathbb Z/6$, which $x$ satisfy $2x = 2$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
2x ≡ 2 (mod 6) means 6 divides 2x − 2, i.e. x ≡ 1 (mod 3). In ℤ/6 that gives x = 1 and x = 4 (2 · 4 = 8 ≡ 2). Two solutions appear because 2 is not a unit mod 6.
Ideals and quotients
- An ideal is an additive subgroup that absorbs multiplication by every ring element — stronger than a subring. $\mathbb Z$ is a subring of $\mathbb Q$ but not an ideal.
- For a proper ideal $I$: $R/I$ is a field $\iff I$ maximal; a domain $\iff I$ prime. $\mathbb Z/5\mathbb Z$ is a field; $\mathbb Z/6\mathbb Z$ is not even a domain.
Which quotient ring is a field?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
7ℤ is maximal because 7 is prime.
$\mathbb Z$ is an ideal of $\mathbb Q$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac12 \cdot 1 \notin \mathbb Z$.
Modules
- A module is a "vector space" over a ring. Every abelian group is a $\mathbb Z$-module, but it may have torsion 挠性: in $\mathbb Z/6$, $6 \cdot 1 = 0$.
- Over a field, nonzero scalars are invertible, so no nonzero vector is killed. Over $\mathbb Z$, you cannot divide by 2, so field-style row reduction and rank–nullity need care.
A classic proof: Boolean rings commute
If $a^2 = a$ for all $a$: $(a+a)^2 = a + a$ gives $4a = 2a$, so $2a = 0$. Then $(a+b)^2 = a + b$ gives $ab + ba = 0$, so $ab = -ba = ba$. Commutativity was proved, not assumed.
In a Boolean ring, $2a =$ ____ for every $a$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
From (a + a)² = a + a.
Recap
- In $\mathbb Z/n$: units have $\gcd(a,n)=1$; other nonzero elements are zero divisors.
- Ideals absorb all products; $R/I$ is a field iff $I$ is maximal, a domain iff prime.
- Modules can have torsion; do not divide by non-units.