Đại số: miền xác định, hệ phương trình, bất đẳng thức và hàm số
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | The set of input values for which a function is defined. |
| elimination/ɪˌlɪmɪˈneɪʃn/ | Solving simultaneous equations by combining them to remove one of the unknowns. |
Restrictions travel with the equation
- "Solve $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$." Simplifying gives $x + 2 = 4$, so $x = 2$ — but $x = 2$ makes the original denominator zero.
- GRE algebra tests whether you keep track of domains 定义域, systems, inequalities and function notation.
Domains and restrictions
- Denominators cannot be zero; square roots need non-negative arguments (for real numbers).
- Simplifying does not remove restrictions: the equation above has no solution.
How many solutions does $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$ have?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Simplifies to $x + 3 = 6$, $x = 3$, which is excluded.
Systems and inequalities
- Systems: substitution or elimination 消元法. $x + y = 10$, $x - y = 4$ → add: $2x = 14$, $x = 7$, $y = 3$.
- Inequalities: multiplying or dividing by a negative reverses the sign; keep endpoints straight in $\le$ vs $<$.
$-3 < 2x + 1 \le 7$. Subtract 1: $-4 < 2x \le 6$. Divide by 2: $-2 < x \le 3$. The endpoint −2 is excluded, 3 is included.
Included or excluded?
Decide whether endpoints belong to an inequality's solution.
If $2x + y = 11$ and $x - y = 1$, what is $x$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Add: $3x = 12$.
Solve $-2x + 5 > 1$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$-2x > -4$; dividing by −2 reverses: $x < 2$.
Function notation
- $f(x) = x^2 - 3$: $f(2a) = 4a^2 - 3$. Substitute the whole input.
- Composite: $f(g(x))$ — apply $g$ first. If $g(x) = x + 1$, $f(g(2)) = f(3) = 6$.
If $f(x) = 3x - 2$ and $g(x) = x^2$, what is $f(g(2))$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$g(2) = 4$; $f(4) = 10$.
Common traps
- Keeping a solution that violates the original domain.
- Forgetting to reverse the inequality sign after dividing by a negative.
Cancelling a common factor removes the original restriction on $x$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The restriction still applies.
Recap
- Record restrictions first and check solutions against them.
- Solve systems by elimination or substitution; handle inequality signs and endpoints carefully; substitute whole inputs into functions.