Áp dụng giải tích
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | tối ưu hóa |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | ràng buộc |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | tỷ lệ thay đổi liên quan |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | diện tích giữa hai đường cong |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | chi phí biên |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | doanh thu biên |
Thể tích cố định ràng buộc thiết kế
- Một mô hình hình trụ kín dùng để giảng dạy chứa 500 cm³, với mặt trên và mặt dưới phẳng và không tính đến phần nối. Bán kính và chiều cao của nó không thể được chọn độc lập.
- Tối ưu hóa tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu yêu cầu trong một miền khả thi được nêu rõ; các giả định vật lý là một phần của mô hình.
Rút gọn biến số và so sánh các ứng viên
- Sử dụng ràng buộc để biểu diễn mục tiêu theo một biến duy nhất. Đối với hình trụ kín, $h=500/(\pi r^2)$ và $A(r)=2\pi r^2+1000/r$, với $r>0$.
- Vi phân để tìm các ứng viên điểm dừng, sau đó biện minh cho việc phân loại và kiểm tra các biên áp dụng. Đối với các lựa chọn nguyên, hãy so sánh các số nguyên lân cận khả thi thay vì coi nghiệm tối ưu phân số là một đáp án được chấp nhận.
Sắp xếp các bước của câu hỏi tối ưu hóa theo thứ tự.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Nêu mục tiêu và miền khả thi, sử dụng ràng buộc nơi cần, tìm các ứng viên điểm dừng, và so sánh phân loại, biên và bất kỳ ràng buộc rời rạc nào.
Minimum của hình trụ kín. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ cho $r^3=250/\pi$, do đó $r\approx4.30$ cm. Vì $A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ đối với r dương và A tăng vô hạn ở cả hai đầu, đây là minimum toàn cục của mô hình liên tục được nêu. Ràng buộc thể tích sau đó cho $h=2r$.
Một hình trụ kín có nắp và đáy phẳng phải chứa 500 cm³. Bỏ qua đường nối, tìm bán kính làm giảm diện tích bề mặt đối với bán kính dương, làm tròn đến 2 chữ số thập phân.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(r) = 2πr² + 1000/r với r > 0. Đạo hàm của nó cho r³ = 250/π, nên r ≈ 4.30 cm. Đạo hàm bậc hai dương và diện tích tại các điểm biên tiến tới vô cùng chứng minh đây là điểm cực tiểu toàn cục.
Kết nối tốc độ thông qua sự phụ thuộc được xác định
- Khi $V=V(r)$ và $r=r(t)$, quy tắc chuỗi cho $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$.
- Tốc độ liên quan cần đơn vị và giá trị tương thích tại thời điểm yêu cầu. Tích phân một tốc độ cho ra sự thay đổi tích lũy, trong khi lượng ban đầu xác định tổng cuối cùng.
Bán kính của một quả bóng bay tăng theo tốc độ đã biết và bạn muốn biết thể tích tăng nhanh thế nào. Bạn viết gì trước tiên?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Viết quy tắc chuỗi trước, sau đó điền đầy đủ từng nhân tố. Điều này biến câu hỏi thành hai đạo hàm thông thường.
Diện tích và mô hình biên có giới hạn
- Diện tích giữa hai đường cong sử dụng giá trị trên trừ giá trị dưới trên vùng được chỉ định. Tìm giao điểm cho các vùng được bao quanh và chia nhỏ tại những thay đổi thứ tự; một khoảng ngoài được chỉ định có thể thay thế cung cấp các cận.
- Chi phí biên và doanh thu biên là đạo hàm của các mô hình liên tục. Việc bằng chúng lại nhau tìm ra một ứng viên lợi nhuận điểm dừng nội bộ, mà tính khả thi, phân loại và các ứng viên cạnh tranh biên vẫn cần được kiểm tra.
Đối với vùng hữu hạn bị giới hạn bởi hai đường cong cắt nhau, bạn phải tìm gì để xác định cận của tích phân?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tìm các giao điểm liên quan, xác định đường cong nào nằm trên trên mỗi khoảng, và tách ra nếu thứ tự của chúng thay đổi. Một câu hỏi chỉ định khoảng ngoài có thể cung cấp trực tiếp các cận.
Trong mô hình chi phí liên tục khả vi, chi phí biên là đạo hàm của tổng chi phí.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là tốc độ thay đổi tức thời của mô hình. Một sự gia tăng thực tế rời rạc một đơn vị là hiệu hữu hạn và có thể không bằng đúng đạo hàm đó.
Đạo hàm không phải lúc nào cũng tăng đúng một đơn vị. Đối với $C(q)=100+3q+0.2q^2$, $C'(10)=7$ nhưng $C(11)-C(10)=7.2$. Sheet 3.3 cũng so sánh cực đại liên tục tại 5.5 với các số lượng nguyên tốt nhất 5 và 6.
Bạn đã tìm được r = 4.30 cho lon. Hãy viết câu trả lời hoàn chỉnh mà giám khảo mong đợi.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Ví dụ: Bán kính xấp xỉ 4.30 cm, làm giảm diện tích bề mặt dưới mô hình thể tích hình trụ kín nêu trên.
Một điểm dừng đơn lẻ không thiết lập được tối ưu toàn cục. Hãy nêu rõ miền khả thi và lý do tại sao các ứng viên khác hoặc các biên không thể đưa ra giá trị tốt hơn. Một cách mở container khác, phần allowance nối hoặc ràng buộc kích thước thực tế có thể thay đổi mô hình.