Tích phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | tích phân |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | tích phân xác định |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | định lý cơ bản của giải tích |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | hằng số tích phân |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | phương pháp đổi biến số trong tích phân |
Tích lũy có dấu có thể triệt tiêu lẫn nhau
- Tích phân có thể thu hồi nguyên hàm hoặc tính toán tích lũy có dấu. Tích phân xác định không tự động là diện tích hình học không âm.
- Đối với hàm dưới dấu tích phân liên tục, định lý cơ bản của giải tích liên kết tích phân xác định với nguyên hàm được đánh giá tại các cận.
Giữ họ nguyên hàm
- Tích phân bất định cần một hệ số tự do (hằng số tích phân) vì đạo hàm của bất kỳ hằng số nào đều bằng 0. Công thức lũy thừa là $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ cho $n\ne-1$ trên miền xác định hợp lệ.
- Ngoại lệ nghịch đảo là $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ trên một khoảng không đi qua giá trị 0. Cần lưu ý về miền xác định dương hay âm trước khi chọn biểu thức logarit.
Tích phân x³ theo biến x. Bao gồm hằng số.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tăng số mũ lên một và chia cho số mũ mới, sau đó cộng c vì bất kỳ hằng số nào khi vi phân đều bằng không.
Tích phân xác định cần hằng số tích phân.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hằng số triệt tiêu trong F(b) − F(a). Chỉ tích phân bất định mới cần nó — và ở đó nó là bắt buộc.
Trong một câu tiếng Anh, giải thích tại sao tích phân bất định cần "+ c".
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Ví dụ: "Mọi hằng số khi vi phân đều bằng không, nên hằng số ban đầu không thể khôi phục lại từ đạo hàm."
Tính giá trị trên trừ giá trị dưới
- Tích phân xác định cho $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ khi áp dụng phương pháp nguyên hàm. Thay cả hai cận vào cùng một F.
- C triệt tiêu giữa các giá trị tính toán đó. Đối với diện tích hình học, hãy chia nhỏ tại nơi đường cong đổi dấu hoặc nơi đường trên và đường dưới hoán đổi vị trí.
Diện tích dưới đường cong
$\int_a^b f(x)\,dx$
Tích phân xác định là diện tích có dấu giữa đường cong và trục tọa độ.
Tính giá trị tích phân của x² từ 0 đến 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
[x³/3] từ 0 đến 3 = 27/3 − 0 = 9.
Tích phân bằng 0, diện tích dương. Với $y=x$ từ -1 đến 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Diện tích hình học là $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Mỗi vùng tam giác có diện tích một nửa; các đóng góp có dấu của chúng triệt tiêu lẫn nhau.
Thay thế cả hàm số và vi phân
- Tích phân theo phương pháp đặt ẩn phụ đảo ngược quy tắc chuỗi. Với $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, nên $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Đối với tích phân xác định, chuyển đổi cận của nó về u hoặc quay lại x trước khi tính giá trị theo cận ban đầu. Không kết hợp biểu thức u với cận x.
Phép đổi biến nào đơn giản hóa tích phân của 2x(x² + 1)⁵?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của nó là 2x đã có sẵn, nên du = 2x dx và tích phân trở thành u⁵ du.
Vi phân một nguyên hàm để kiểm tra. Ngoài ra, hãy kiểm tra miền xác định, hằng số tích phân và các cận; việc chỉ vi phân không chứng minh được rằng tích phân xác định hay diện tích hình học đã được tính chính xác. Sheet 3.2 sử dụng vận tốc để phân biệt độ dịch chuyển, tổng quãng đường và vị trí cuối cùng.
Làm thế nào để kiểm tra đáp án tích phân một cách đáng tin cậy?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Vi phân một nguyên hàm đề xuất và so sánh với hàm dưới dấu tích phân ban đầu trên miền xác định. Đồng thời kiểm tra hằng số, cận và dấu hoặc diễn giải diện tích hình học; chỉ riêng việc vi phân không đủ để xác thực các bước đó.
Một nguyên hàm hợp lệ trên một khoảng không tự động biện minh cho việc tính toán vượt qua điểm bất thường. Hãy kiểm tra miền xác định của hàm dưới dấu tích phân trước khi áp dụng phép trừ giá trị trên xuống giá trị dưới. Một vị trí ban đầu phải được cộng thêm khi tích phân chỉ cho ra độ dịch chuyển.