Đạo hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | hệ số góc của tiếp tuyến |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | đạo hàm từ định nghĩa |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | quy tắc lũy thừa |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | quy tắc tích |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | quy tắc thương |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | quy tắc chuỗi |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | điểm dừng |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm cấp hai |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | giá trị cực đại |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | giá trị cực tiểu |
Trung bình hữu hạn che giấu sự thay đổi cục bộ
- Đối với $y=x^2$, đường cắt từ x bằng 1 đến 2 có độ dốc là 3, nhưng tiếp tuyến tại x bằng 1 có độ dốc là 2.
- Đạo hàm là tốc độ giới hạn tức thời, khi nó tồn tại. Về mặt hình học, nó cho biết độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm khả vi.
Trượt điểm thứ hai về phía điểm đầu tiên
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Đường dây nối trở thành tiếp tuyến, và độ dốc của nó trở thành đạo hàm.
Đạo hàm của một hàm số tại một điểm đo lường điều gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nơi tồn tại, đạo hàm là tốc độ thay đổi giới hạn tức thời và độ dốc của tiếp tuyến. Tích phân xác định đo lường sự tích lũy có dấu, điều này không nhất thiết bằng diện tích hình học.
Lấy giới hạn mà không chia cho không
- Vi phân từ nguyên lý đầu tiên sử dụng $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. Thương hiệu sai số sử dụng h khác không trước khi lấy giới hạn.
- Giới hạn một phía phải phù hợp để có đạo hàm hai phía. Một góc nhọn có thể ngăn chặn tính khả vi ngay cả khi hàm số liên tục.
Lũy thừa từ định nghĩa của nó. Đối với $f(x)=x^2$, thương hiệu là $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ đối với h khác 0. Giới hạn của nó là $2x$. Đối với $|x|$ tại không, thương hiệu $|h|/h$ thay vào đó có giới hạn bên phải là 1 và giới hạn bên trái là -1, do đó không có đạo hàm nào tồn tại tại đó.
Chọn quy tắc cho dạng hàm số
- Quy tắc lũy thừa cho $(x^n)'=nx^{n-1}$ trên miền xác định hợp lệ. Quy tắc tích cho $(uv)'=u'v+uv'$.
- Quy tắc thương cho $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ khi v khác không. Quy tắc chuỗi cho $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, bao gồm cả đạo hàm của hàm bên trong.
Vi phân y = x⁵. Cho biết đạo hàm.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rút số mũ xuống và giảm đi một: 5x⁴.
Quy tắc nào dùng để vi phân y = (3x + 1)⁴?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một hàm nằm trong một hàm khác. Đạo hàm là 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
Điểm dừng cần được phân loại
- Một điểm dừng có $f'(x)=0$. Một đạo hàm cấp hai khác không tại đó cho thấy điểm cực đại cục bộ khi âm hoặc cực tiểu cục bộ khi dương.
- Đạo hàm bậc hai bằng 0 là không conclusive. Hãy xem xét dấu của đạo hàm bậc nhất hoặc bằng chứng khác; $x^3$ có điểm uốn dừng tại 0, không phải cực đại hay cực tiểu.
y = x³ − 3x có điểm dừng tại giá trị dương của x. Giá trị đó là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 3x² − 3 = 0 cho x = ±1, do đó giá trị dương là x = 1.
Tại một điểm dừng, đạo hàm bậc hai mang giá trị âm. Đó là loại điểm gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm bậc hai âm nghĩa là độ dốc đang giảm qua không, nên đường cong quay xuống dưới.
Sắp xếp các bước của câu hỏi tìm điểm dừng theo thứ tự để nhận điểm.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Tìm các giá trị x ứng viên từ đạo hàm, thay vào hàm gốc để có tọa độ, và biện luận việc phân loại. Đạo hàm bậc hai bằng không là kết quả không conclusively.
Tìm cả hai tọa độ và mô tả các khoảng. Trong trang 3.1, nhân đạo hàm thành nhân tử để tìm các giá trị x ứng viên, thay thế vào hàm gốc để tìm y, sau đó kiểm tra phân loại và nơi đường cong tăng hoặc giảm.
$dy/dx$ đạo hàm theo x; dấu chấm trên y thường đạo hàm theo thời gian. Hãy nêu biến độc lập thay vì coi các ký hiệu này hoán đổi được cho nhau trong mọi bài toán. Các quy tắc đạo hàm lượng giác ở đây sử dụng radian.