Dãy số và tổng dãy
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | dãy số |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | cấp số cộng |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | cấp số nhân |
| series/ˈsɪəriːz/ | dãy vô hạn |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | công sai |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | công bội |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | tổng vô hạn |
Ghép quy tắc với dãy số
- Tiết kiệm một khoản cố định mỗi kỳ hạn tạo ra dãy số cấp số cộng nếu không có gì thay đổi. Nhân số tiền hiện tại với một hệ số cố định tạo ra dãy số cấp số nhân.
- Một bài toán tài chính có thể bao gồm thanh toán cố định, lãi suất hoặc cả hai. Xác định quy tắc đã nêu của nó thay vì giả định mọi bài toán tiền đều là cấp số nhân.
Một khoản đầu tư tăng 4% mỗi năm. Đây thuộc nhóm nào?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phần trăm là một hệ số, không phải một giá trị tuyệt đối, nên mỗi năm nó được nhân với 1.04.
Giữ chỉ số số hạng rõ ràng
- Một dãy số là một danh sách có thứ tự; một tổng cấp số là phép cộng các số hạng của nó. Cấp số cộng sử dụng công sai d và $u_n=a+(n-1)d$.
- Cấp số nhân sử dụng công bội r và $u_n=ar^{n-1}$. Nếu giá trị bắt đầu là $u_1$, năm phép nhân hoàn tất sẽ cho $u_6$; nếu mô hình sử dụng thời gian n bắt đầu từ 0, hãy viết quy ước đó thay vào đó.
Cộng so với nhân
Một hệ số hằng số cuối cùng sẽ vượt qua một giá trị hằng số, dù giá trị đó lớn đến đâu.
Một cấp số cộng bắt đầu từ 5 với công sai 3. Số hạng thứ 10 là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. Chín bước từ số hạng đầu tiên, chứ không phải mười.
Tổng khác với số hạng
- Các tổng cấp số cộng sử dụng $S_n=n[2a+(n-1)d]/2$. Các tổng cấp số nhân sử dụng $S_n=a(1-r^n)/(1-r)$ cho $r\ne1$, hoặc na khi $r=1$.
- Đối với a khác không, một tổng vô hạn hữu hạn chỉ tồn tại khi $|r|<1$, cho kết quả là $S_\infty=a/(1-r)$. Nếu a bằng không, mọi số hạng và tổng đều bằng không.
Đối với số hạng đầu khác không, một cấp số nhân chỉ có tổng hữu hạn vô cực khi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đối với a khác 0, sự hội tụ yêu cầu |r| < 1. Khi |r| ≥ 1, các số hạng không tiến tới zero; tổng riêng có thể phân kỳ hoặc dao động, thay vì luôn tăng tiến về vô cực dương.
Một mô hình khấu hao đã cho. Giá trị ban đầu 80000 đơn vị giảm 12% mỗi năm, không có thay đổi nào khác. $V(n)=V_0(1-r)^n$, do đó còn lại $V(5)=80000(0.88)^5=42218.553344$ đơn vị. Điều này xấp xỉ 42200 làm tròn đến 100 gần nhất, không phải giá trị chính xác của 42200.
Một máy móc có giá trị 80000 giảm 12% mỗi năm. Giá trị của nó sau 5 năm là bao nhiêu, làm tròn đến 100 gần nhất?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
80000 × 0.88⁵ = 42218.553344, làm tròn đến 42200 gần nhất 100. Tỷ lệ giữ lại được nhân lên năm lần.
Sử dụng tổng để tính công suất kết hợp. Các hàng có số lượng 12, 14, 16 v.v. tạo ra $u_{15}=40$, nhưng lại là $S_{15}=390$. Bảng 2.1 so sánh một số hạng cá nhân, một tổng hữu hạn và một mô hình toán học theo thời gian vô hạn.
Đối với số hạng đầu khác không, các tỷ số có độ lớn ít nhất bằng 1 ngăn chặn sự hội tụ của cấp số nhân vô hạn. Không phải tất cả đều tạo ra các tổng tiến tới vô cùng dương: tỷ số âm 1 khiến các tổng riêng biệt xen kẽ. Hãy phát biểu sự thất bại trong hội tụ một cách chính xác.
Giảm 12% mỗi năm trong năm năm có nghĩa là mất đi 60% tổng cộng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
0.88⁵ = 0.528, tức là khoảng 47% đã bị mất. Mức giảm mỗi năm áp dụng trên một giá trị nhỏ hơn mức giảm của năm trước.