Hàm mũ và logarit
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | hàm mũ |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | số mũ |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | logarit tự nhiên |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | lãi suất kép |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | sự suy giảm theo hàm mũ |
Phép nhân lặp lại tạo ra mô hình
- Một hàm mũ như $y=a^x$ có biến trong số mũ, với $a>0$ và $a\ne1$.
- Giá trị của nó tăng khi $a>1$ và giảm khi $0<a<1$. Các bước thời gian bằng nhau nhân với cùng một hệ số; chúng không nhất thiết cộng thêm cùng một lượng.
Tăng trưởng hàm mũ trên đồ thị đường thẳng
$y = a^x$
Một hằng số nhân luôn vượt hơn một hằng số cộng, dù đồ thị có dốc đến đâu.
Sử dụng logarit như một phép nghịch đảo
- $\log_a y=x$ có nghĩa là $a^x=y$. Logarit thực cần số hạng dương và cơ số dương khác 1.
- Logarit tự nhiên sử dụng cơ số e. Đồ thị $y=\ln x$ đi qua $(1,0)$ và có tiệm cận đứng $x=0$; đồ thị hàm mũ có tung độ gốc là 1 và tiệm cận ngang $y=0$.
log₁₀ 1000 bằng bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Câu hỏi này yêu cầu tìm số mũ của 10 cho ra 1000, và 10³ = 1000.
Áp dụng các định luật chỉ trong miền xác định của chúng
- Đối với m và n dương với cùng cơ số hợp lệ, $\log(mn)=\log m+\log n$ và $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- Quy tắc lũy thừa $\log(m^k)=k\log m$ đưa số mũ vào một tích. Không có định luật tương ứng nào tách logarit của một tổng.
Quy tắc nào giúp bạn giải tìm ẩn số nằm trong số mũ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc lũy thừa đưa k xuống phía trước, nơi nó có thể bị triệt tiêu. Phương án thứ tư không phải là quy tắc nào cả.
log(m + n) bằng log m + log n.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc cộng áp dụng cho tích bên trong logarit, không bao giờ áp dụng cho tổng.
Nêu rõ giả định về thời gian và tài chính
- Lãi suất kép sử dụng $A=P(1+r)^n$ cho một tỷ lệ đã nêu cho mỗi kỳ hạn và không có dòng tiền nào khác. Tỷ lệ r là phân số, không phải ký hiệu phần trăm.
- Suy giảm mũ sử dụng một hệ số nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Ngưỡng thời gian liên tục có thể khác với mẫu kỳ nguyên đầu tiên đạt điều kiện; các quá trình thực tế cần bằng chứng trước khi áp dụng mô hình.
5000 tăng trưởng 4% mỗi năm. Sau bao nhiêu NĂM NGUYÊN thì nó vượt quá 7000 lần đầu tiên?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, và năm là số nguyên, nên đáp án là 9.
Căn base nào tạo ra sự suy giảm hàm mũ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một căn base nằm giữa 0 và 1 sẽ thu nhỏ giá trị ở mỗi bước. Căn base bằng 1 thì không bao giờ thay đổi giá trị đó.
Trong một câu tiếng Anh, hãy nói khi nào bạn sẽ dùng logarit để giải một phương trình.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Ví dụ: "Tôi lấy logarit khi ẩn số nằm ở số mũ, vì quy tắc lũy thừa đưa nó xuống." ⟦number⟧
Ngưỡng cả năm. Với $A(n)=500(1.04)^n$, điều kiện $A(n)>600$ đưa ra $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. Năm đầu tiên đủ lớn là 5. Kiểm tra các năm 4 và 5 để xác nhận bất đẳng thức nghiêm ngặt.
Kiểm tra miền xác định của phương trình và đồ thị riêng biệt. Trong $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, phương trình cần $x>1$ và có nghiệm là 6. Đồ thị cơ bản riêng biệt $y=\ln x$ được xác định cho $x>0$. Sheet 1.6 luyện tập cả phương trình và đặc điểm đồ thị.
Một mô hình suy giảm mũ dương luôn nằm trên mức zero tại mọi thời điểm hữu hạn. Một đại lượng vật lý được đo là zero có thể phản ánh giới hạn phát hiện hoặc sự thất bại của mô hình, thay vì zero chính xác do công thức dự đoán.