Dãy, sai phân hữu hạn và khai triển Taylor
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức Taylor |
Một đa thức có thể thay thế một hàm mũ gần đó?
- Gần một điểm đã biết, một hàm phức tạp có thể được thay thế bằng một xấp xỉ đa thức. Xấp xỉ cần một tâm và một thang đo hợp lệ.
- Bài học này nghiên cứu đa thức Taylor: Một đa thức được tạo thành từ các đạo hàm của hàm số tại một tâm đã chọn.
Chọn cấu trúc toán học
- Quanh x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... khi khai triển hợp lệ. Tại a=0, nó là khai triển Maclaurin. Các tổng hữu hạn cũng có thể được rút gọn bằng cách triệt tiêu hoặc công thức tổng tiêu chuẩn.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Tại sao 1+x+x²/2 chỉ là xấp xỉ eˣ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dãy đầy đủ là vô hạn: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... Ngắt sau ba số hạng sẽ bỏ qua phần đuôi, nên kết quả chỉ là xấp xỉ tốt gần tâm x=0.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Ba số hạng đầu tiên của e^x là 1+x+x²/2. Tại x=0.1, điều này cho kết quả 1.105, gần với e^0.1≈1.105170. Đối với tổng của k² từ k=1 đến 5, công thức n(n+1)(2n+1)/6 sẽ cho ra kết quả 5×6×11/6=55.
Dãy, sai phân hữu hạn và khai triển Taylor
Quanh x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
Sử dụng 1+x+x²/2 để ước lượng e^0.1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đa thức bị cắt cụt là 1+0.1+0.1²/2=1.105.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Số giai thừa thuộc về mẫu số của mọi hệ số Taylor. Tâm khai triển không luôn bằng không. Một phép xấp xỉ gần tâm có thể kém chính xác ở xa tâm.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Đa thức Taylor luôn chính xác với hàm gốc tại mọi đầu vào. Nhận định này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Tìm tổng của k² với k từ 1 đến 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cộng các số hạng bình phương: 1+4+9+16+25=55.
Một đa thức Taylor luôn chính xác đối với hàm gốc tại mọi giá trị đầu vào.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Factorial nằm ở mẫu số của mỗi hệ số Taylor. Tâm khai triển không phải lúc nào cũng bằng không. Một xấp xỉ gần tâm có thể kém chính xác khi ở xa.
Giải thích tình huống mới
- Với chuỗi telescoping, viết nhiều số hạng và xác định hai đầu còn lại. Với xấp xỉ Taylor, nêu bậc xấp xỉ và so sánh với một giá trị đã biết hoặc ước lượng dư (remainder estimate) khi cần thiết.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Tìm hệ số của x² trong khai triển Maclaurin của e^x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm cấp hai của e^x tại điểm không bằng 1; chia cho 2!=2 để thu được 1/2.
Gắn mỗi công cụ chuỗi với công dụng của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tổng chuẩn xử lý các số hạng đa thức; đa thức Taylor xấp xỉ các hàm trơn gần tâm của chúng; chuỗi thu gọn triệt tiêu hiệu số.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- edexcel IAL toán thuần túy; đơn vị chính thức FP2. Sự bổ sung từ các đơn vị khác được chỉ ra trong bản xem xét phạm vi; đây không phải là yêu cầu điểm cộng thêm.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Một đa thức được tạo thành từ các đạo hàm của hàm tại một tâm đã chọn. Chọn mối quan hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.