Phân phối liên tục và hàm mật độ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | hàm mật độ xác suất |
Chiều cao có giống như xác suất?
- Thời gian chờ có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng. Xác suất của nó đến từ diện tích, không phải từ độ cao của đồ thị tại một thời điểm.
- Bài học này nghiên cứu mật độ xác suất: Một hàm không âm mà tích phân của nó trên một khoảng cho biết xác suất tương ứng.
Chọn cấu trúc toán học
- Hàm mật độ f phải không âm và có tích phân bằng 1 trên tập xác định. Hàm phân bố tích lũy F(x) là tích phân đến x. Đối với biến liên tục, P(X=x)=0 và E(X) là tích phân của xf(x).
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, tại sao P(X=1)=0 dù mật độ xác suất có thể dương tại 1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mật độ xác suất cho xác suất thông qua tích phân trên một khoảng. Một khoảng điểm có độ rộng bằng không, nên diện tích bằng không, dẫn đến xác suất bằng không - bất kể mật độ cao đến đâu tại đó.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Giả sử f(x)=kx trên 0≤x≤2 và bằng 0 ở nơi khác. Điều kiện chuẩn hóa cho tích phân_0^2 kx dx=2k=1, suy ra k=1/2. Khi đó P(X≤1)=tích phân_0^1 x/2 dx=1/4 và E(X)=tích phân_0^2 x²/2 dx=4/3.
Phân phối liên tục và hàm mật độ
Mật độ f phải không âm và tích phân bằng 1 trên miền xác định của nó
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
Tìm k khi f(x)=kx trên [0,2] là một hàm mật độ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích mật độ toàn phần k[x²/2] từ 0 đến 2 = 2k = 1, suy ra k = 1/2.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Mật độ có thể vượt quá 1 mà vẫn hợp lệ; tổng diện tích dưới đường cong phải bằng 1. Hàm phân bố tích lũy không được giảm. Hãy bao gồm vùng có mật độ bằng 0 bên ngoài tập xác định khi xây dựng mô hình hoàn chỉnh.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Biến liên tục có P(X=x) bằng chiều cao mật độ f(x). Phát biểu này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Với hàm mật độ này, tìm P(X≤1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Xác suất = tích phân x/2 từ 0 đến 1 = [x²/4] = 1/4.
Một biến liên tục có P(X=x) bằng độ cao mật độ f(x).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mật độ có thể vượt quá 1 mà không bị vô hiệu; tổng diện tích phải bằng 1. Hàm phân phối tích lũy không được giảm. Bao gồm cả vùng mật độ bằng không bên ngoài miền xác định khi xây dựng mô hình hoàn chỉnh.
Giải thích tình huống mới
- Với phân bố đều, mật độ bằng nghịch đảo độ dài khoảng. Tìm trung vị hoặc percentil thông qua xác suất tích lũy, và sử dụng tích phân phù hợp với tập xác định để tính các đặc trưng (moments).
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Với mật độ đó, hãy tìm E(X).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X)=tích phân x²/2 từ 0 đến 2=[x³/6]=4/3.
Gán mỗi yêu cầu của hàm mật độ với phát biểu tương ứng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hàm mật độ có thể vượt 1 tại một điểm; chỉ tổng diện tích được cố định ở 1. Hàm phân bố lũy tiến thực hiện tích phân, và kỳ vọng tính trọng số theo x.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- Edexcel IAL toán nâng cao; đơn vị chính thức S2. Nội dung làm giàu từ đơn vị khác được xác định trong đánh giá phạm vi; đây không phải là yêu cầu thêm để tăng điểm.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Hàm không âm mà tích phân trên một khoảng cho biết xác suất. Hãy chọn mối quan hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.