Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | hàm bổ sung |
Tại sao chúng ta cần hai điều kiện ban đầu?
- Mô hình dịch chuyển bao gồm cả vận tốc và gia tốc. Giải chỉ một phương trình tốc độ bậc nhất không thể nắm bắt cả hai điều kiện ban đầu.
- Bài học này nghiên cứu nghiệm phụ: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất liên kết.
Chọn cấu trúc toán học
- Với y''+ay'+by=f(x), giải phương trình bậc hai phụ trợ cho phần đồng nhất. Thêm một tích phân riêng phù hợp cho hàm kích thích. Các nghiệm lặp lại và nghiệm phức đòi hỏi các dạng chính xác tương ứng.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Tại sao phương trình bậc hai cần HAI điều kiện để xác định nghiệm?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hàm bổ sung y=Ae^x+Be^(2x) chứa hai hằng số tùy ý. Mỗi điều kiện tạo ra một phương trình tuyến tính theo A và B; chỉ có hai điều kiện độc lập mới xác định được cả hai.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Đối với y''-3y'+2y=0, phương trình phụ trợ là m²-3m+2=0 với các nghiệm 1,2. Do đó y=Ae^x+Be^(2x). Với y(0)=1 và y'(0)=0, ta có A+B=1 và A+2B=0, suy ra A=2, B=-1.
Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai
Đối với y''+ay'+by=f(x), giải phương trình bậc hai phụ cho phần đồng nhất
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
Đối với A+B=1 và A+2B=0, tìm A.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Trừ A+B=1 từ A+2B=0: B=-1, suy ra A=2.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Hai hằng số tùy ý cần hai điều kiện độc lập. Nếu tích phân riêng phần thử nghiệm trùng với một thành phần của hàm bổ sung, hãy nhân hệ số thử nghiệm với x như yêu cầu. Đừng loại bỏ một nghiệm dao động hợp lệ chỉ vì các nghiệm phụ là phức.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Một giá trị ban đầu luôn đủ để xác định cả hai hằng số trong nghiệm tổng quát bậc hai. Khẳng định này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Với các điều kiện đó, tìm B.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai để thu được B=-1.
Một giá trị ban đầu luôn đủ để xác định cả hai hằng số trong nghiệm tổng quát bậc hai.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hai hằng số tùy ý cần hai điều kiện độc lập. Nếu nguyên hàm đặc biệt thử nghiệm trùng với thành phần của hàm bổ trợ, hãy nhân nguyên hàm thử nghiệm với x như yêu cầu. Đừng loại bỏ một nghiệm dao động hợp lệ chỉ vì các nghiệm phụ là phức.
Giải thích tình huống mới
- Vi phân biểu thức cuối cùng và thay vào phương trình vi phân gốc. Kiểm tra từng điều kiện ban đầu riêng biệt, và diễn giải khoảng nghiệm cho phép.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Tìm nghiệm lớn hơn của m²-3m+2=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Phân tích m²-3m+2=(m-1)(m-2); nghiệm lớn hơn là 2.
Gắn mỗi thành phần của y″-3y′+2y=f(x) với vai trò của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Nghiệm tổng quát là hàm bổ sung cộng với tích phân riêng; các nghiệm phụ quyết định dạng giải, với các trường hợp đặc biệt cho nghiệm trùng hoặc phức.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- Edexcel IAL Toán nâng cao; đơn vị chính thức FP2. Sự làm phong phú nội dung của đơn vị khác được xác định trong phần xem xét phạm vi; đây không phải là yêu cầu bổ sung để tăng điểm số.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết. Chọn mối quan hệ, thể hiện phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.