Tổng hữu hạn và quy nạp toán học
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| sigma notation/ˈsɪɡmə nəʊˈteɪʃn/ | ký hiệu sigma |
Một đa thức có thể thay thế một hàm mũ gần đó?
- Gần một điểm đã biết, một hàm phức tạp có thể được thay thế bằng một xấp xỉ đa thức. Xấp xỉ cần một tâm và một thang đo hợp lệ.
- Bài học này nghiên cứu ký hiệu sigma: Ký hiệu cộng các số hạng có chỉ số trong một phạm vi hữu hạn đã nêu.
Chọn cấu trúc toán học
- Đối với k=1 đến n, tổng k=n(n+1)/2, tổng k²=n(n+1)(2n+1)/6 và tổng k³=[n(n+1)/2]². Chênh lệch giữa các số hạng liên tiếp có thể triệt tiêu. Trong chứng minh quy nạp, kiểm tra trường hợp ban đầu và cho thấy trường hợp tiếp theo xuất phát từ giả thuyết.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
Tại sao 1+x+x²/2 chỉ là xấp xỉ eˣ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dãy đầy đủ là vô hạn: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... Ngắt sau ba số hạng sẽ bỏ qua phần đuôi, nên kết quả chỉ là xấp xỉ tốt gần tâm x=0.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Đối với n=5, tổng k=15, tổng k²=1+4+9+16+25=55 và tổng k³=1+8+27+64+125=225. Khi chứng minh một công thức tổng, việc thêm số hạng thứ (n+1) vào biểu thức giả định phải tạo ra công thức với n được thay thế bởi n+1.
Tổng hữu hạn và quy nạp toán học
Đối với k=1 đến n, tổng k=n(n+1)/2, tổng k²=n(n+1)(2n+1)/6 và tổng k³=[n(n+1)/2]²
So sánh mô hình với ví dụ đã giải thích và giải thích một sự thay đổi.
Tìm tổng của k từ 1 đến 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1+2+3+4+5=15.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Tổng bình phương không phải là bình phương của tổng. Nêu phạm vi chỉ số và kiểm tra trường hợp đầu tiên; bước quy nạp riêng lẻ không phải là một chứng minh quy nạp hoàn chỉnh.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Tổng các số hạng bình phương luôn bằng bình phương của tổng chúng. Khẳng định này sai. Giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào mà nó vi phạm.
Tìm tổng của k² từ 1 đến 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1²+2²+3²+4²+5²=55.
Tổng các số hạng bình phương luôn bằng bình phương của tổng chúng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tổng các bình phương không bằng bình phương của tổng. Xác định phạm vi chỉ số và kiểm tra trường hợp đầu tiên; bước quy nạp đơn lẻ không phải là một chứng minh quy nạp hoàn chỉnh.
Giải thích tình huống mới
- FP1 chuỗi hữu hạn và quy nạp chỉ hỗ trợ. xấp xỉ Maclaurin và Taylor thuộc về các đơn vị giải tích nâng cao sau này và bị loại bỏ.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Tìm tổng của k³ từ 1 đến 5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1³+2³+3³+4³+5³=225, cũng như 15².
Gắn mỗi công cụ chuỗi với công dụng của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tổng chuẩn xử lý các số hạng đa thức; đa thức Taylor xấp xỉ các hàm trơn gần tâm của chúng; chuỗi thu gọn triệt tiêu hiệu số.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- Edexcel IAL Toán nâng cao; đơn vị FP1 chính thức. Sự bổ sung từ các đơn vị khác được xác định trong phần xem xét phạm vi; đây không phải là yêu cầu thêm tiền mặt.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Ký hiệu biểu thị tổng các số hạng có chỉ số trong một khoảng hữu hạn đã cho. Chọn mối quan hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và giải thích kết quả.