Các quy tắc logarit, lũy thừa âm và miền xác định của phương trình
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | số đối số |
Kết hợp hai logarit có thể tạo ra đa thức với một nghiệm thừa. Điều kiện đầu vào ban đầu nào loại bỏ nó?
- Kết hợp hai logarit có thể tạo ra đa thức với một nghiệm thừa. Điều kiện đầu vào ban đầu nào loại bỏ nó?
- Bài học này nghiên cứu biểu thức bên trong logarit: Đầu vào nằm bên trong logarit, phải luôn dương đối với logarit thực.
Chọn cấu trúc toán học
- Với a>0, a≠1 và u,v dương: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, và log_a(u^k)=k log_a u với k thực. Những công thức này xuất phát từ quy tắc nhân/chia/lũy thừa của số mũ. Đặc biệt k=−1 cho nghịch đảo và k=−1/2 cho căn bậc hai nghịch đảo. Giải a^x=b, với b>0, bằng cách x=ln b/ln a.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 cho x²=9. Tại sao x=-3 bị loại?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phương trình ban đầu yêu cầu x-1>0 và x+1>0, suy ra x>1. Dạng gộp ln(x²-1) chấp nhận -3, nhưng giá trị này không thỏa mãn các biểu thức trong logarit gốc - luôn kiểm tra lại nghiệm theo chiều ngược.
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Với x>0, ln(x^(-1))=−ln x và ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. Giải ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: miền xác định ban đầu là x>1. Kết hợp lại cho ln(x²−1)=ln8, suy ra x²=9 và các ứng viên ±3; chỉ có x=3 thỏa mãn các biểu thức ban đầu. Đối với 3^x=20, x=ln20/ln3. Nếu 2^(2x)−2^x−2=0, đặt u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0, nên u=2 cho x=1, trong khi u=−1 là bất khả thi. Ngoài ra ln(2+3)=ln5, nhưng ln2+ln3=ln6; một tổng bên trong logarit không thể tách ra như vậy.
Các quy tắc logarit, lũy thừa âm và miền xác định của phương trình
Với a>0, a≠1 và u, v dương: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, và log_a(u^k)=k log_a u với k thực
Xác định giá trị đầu vào hợp lệ, biến được biểu diễn hoặc đơn vị thời gian trước khi sử dụng mối quan hệ logarit/mũ.
Giải 3^x=27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³, do đó x=3.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Việc kết hợp hay khai triển logarit không xóa bỏ các tập xác định ban đầu của chúng. ln(u²)=2ln|u| với u≠0; viết 2lnu còn yêu cầu thêm u>0. Đừng lấy logarit thực của vế phải bằng không hoặc âm trong phương trình a^x=b. Đối với cơ số 1, 1^x=b có mọi nghiệm thực khi b=1 và vô nghiệm trong trường hợp khác; thương logarit không xác định.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Mọi nghiệm đa thức thu được sau khi kết hợp logarit đều thỏa mãn phương trình logarit ban đầu. Khẳng định này sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
Với x>0, viết ln(x^(-1/2))=klnx. Tìm k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Luật lũy thừa đưa số mũ −1/2 ra ngoài: k=−1/2.
Mọi nghiệm đa thức thu được sau khi gộp logarit đều thỏa mãn phương trình logarit gốc.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kết hợp hoặc khai triển logarit không xóa bỏ tập xác định ban đầu của chúng. ln(u²)=2ln|u| với u≠0; viết 2lnu còn đòi hỏi u>0. Đừng lấy logarit thực của vế phải bằng 0 hoặc âm trong phương trình a^x=b. Với cơ số 1, 1^x=b có nghiệm x thuộc R khi b=1 và vô nghiệm trong các trường hợp khác; thương logarit không khả dụng.
Giải thích tình huống mới
- Liệt kê các hạn chế tính dương trước tiên, sử dụng một cơ số chung, sau đó áp dụng một định lý hợp lệ. Sau khi biến đổi đại số, thay thế từng giá trị ứng viên vào phương trình logarit/hàm mũ ban đầu. Giữ nguyên dạng chính xác của thương logarit trừ khi yêu cầu làm tròn thập phân. Việc thay đổi cơ số logarit không làm thay đổi nghiệm của phương trình hàm mũ nếu cả hai thương logarit đều sử dụng cùng một cơ số hợp lệ.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
Tìm x hợp lệ cho ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x²=9 cho ±3, nhưng cả hai biểu thức logarit ban đầu chỉ dương khi x>1; chấp nhận 3.
Nối mỗi quy tắc logarit với phát biểu tương ứng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Các quy tắc được suy ra từ tính chất lũy thừa và chỉ áp dụng cho biểu thức dương; ln(x²)=2ln|x| cần dấu giá trị tuyệt đối khi x có thể âm.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- 7357 · A-level · F. Matches tier mục tiêu và tài liệu trước khi phân bổ mở rộng.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Biểu thức nằm bên trong logarit, điều này phải mang giá trị dương để có logarit thực. Chọn mối quan hệ, thể hiện phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.