Exponentials, logarithms and modelling
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| half-life/hɑːf laɪf/ | bán衰期 (half-life) |
Why does a decay model stay positive?
- A medicine concentration falls by the same percentage each hour. A constant subtraction would eventually predict a negative amount.
- This lesson studies half-life 半衰期: The time for a decaying quantity to fall to half its initial value.
The method
- For y=Ae^(kt), k is a proportional rate.
- Taking logs gives ln y=ln A+kt.
- Logarithms require positive arguments, and log(x+y) is not log x+log y.
Why is ln(x+y)=ln x+ln y wrong?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Logarithms convert multiplication into addition: ln(xy)=ln x+ln y. Try x=y=1: ln 2≈0.69 but ln 1+ln 1=0, so the claimed law fails.
A worked case
If y=80e^(-0.2t), y=40 gives e^(-0.2t)=1/2. Hence t=ln2/0.2≈3.466. For 3^x=20, x=ln20/ln3. Plotting ln y against t linearises this exponential model.
Exponentials, logarithms and modelling
For y=Ae^(kt), k is a proportional rate
Explain why the half-life depends on 0.2 and not on the initial amount 80.
Solve 2^x=32.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
32=2⁵, so x=5.
Where it goes wrong
- A fitted exponential is a model, not a guarantee.
- Specify the time units and range of use.
- A negative k describes decay; a negative starting amount usually contradicts the context.
Not true: For positive x and y, ln(x+y)=ln x+ln y. The log of a sum has no simple law; the product rule is ln(xy)=ln x+ln y.
Find ln(e³).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The natural logarithm undoes exponentiation: ln(e³)=3.
For positive x and y, ln(x+y)=ln x+ln y.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
The log of a sum has no simple law; the product rule is ln(xy)=ln x+ln y.
Applying it
- Compare actual observations with the model.
- Systematic departures may indicate changing conditions.
- In a report, explain what the rate and initial value mean, rather than giving a bare equation.
Find the half-life of 80e^(-0.2t), to three decimal places.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Set e^(-0.2t)=1/2. Then t=ln(2)/0.2≈3.466 to three decimal places.
Match each exponential-model quantity to its meaning.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Taking logs turns y=Ae^(kt) into ln y=ln A+kt, a straight line whose gradient is the rate k.
In your course
- AQA A-level Mathematics (7357), specification section F.
- Every paper allows a calculator, but method marks still need the expression or equation written before its value.
- Half-life: The time for a decaying quantity to fall to half its initial value.
- For y=Ae^(kt), k is a proportional rate.
- Watch for: A fitted exponential is a model, not a guarantee.