Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| candidate/ˈkændɪdeɪt/ | giả thuyết giải |
Một phương trình cho hai giá trị sin khả dĩ. Chúng tạo ra bao nhiêu góc trong một vòng quay đầy đủ?
- Một phương trình cho hai giá trị sin khả dĩ. Chúng tạo ra bao nhiêu góc trong một vòng quay đầy đủ?
- Bài học này nghiên cứu giả thuyết: một nghiệm tiềm năng vẫn cần được kiểm tra lại trong phương trình và khoảng giá trị ban đầu.
Chọn cấu trúc toán học
- Thay một hàm lượng giác bằng u, giải phương trình đại số, sau đó giải mỗi giá trị lượng giác hợp lệ trên khoảng đã nêu. Đối với sin/cos, loại bỏ u nằm ngoài [−1,1]. Tang nhận mọi giá trị thực hữu hạn nhưng loại trừ các góc mà tại đó cosin bằng 0. Phân tích nhân tử trước khi chia cho một hàm lượng giác, như vậy các trường hợp bằng 0 được giữ lại.
- Nêu rõ các đầu vào và đơn vị được phép trước khi tính toán. Một phương trình nên biểu diễn mối quan hệ, chứ không chỉ ghi lại một lần nhập liệu trên máy tính.
For 2cos²x-5cosx+2=0, the roots are cosx=1/2 and cosx=2. Why is only 1/2 usable?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The substitution u=cos x carries the range restriction [-1,1]. The algebraic root u=2 has no angle, leaving x=π/3 and 5π/3 from u=1/2 on [0,2π).
Làm qua một trường hợp đã kiểm tra
- Kiểm tra kết quả so với các lượng ban đầu. Thay thế vào mối quan hệ gốc, hoặc so sánh đồ thị và câu trả lời số học khi phù hợp.
Trên 0≤x<2π, giải 2sin²x−sinx−1=0. Đặt u=sinx: (2u+1)(u−1)=0, suy ra u=−1/2 hoặc 1. Các nghiệm là 7π/6, 11π/6 và π/2; sắp xếp lại thành π/2, 7π/6, 11π/6. Đối với 2cos²x−5cosx+2=0, các giá trị đại số là 1/2 và 2; loại bỏ 2, còn lại x=π/3,5π/3. Đối với tan²x−3tanx+2=0, tanx=1 hoặc 2. Do đó x=π/4,5π/4,arctan2,π+arctan2, với cả bốn giá trị đều được kiểm tra trong phương trình ban đầu. Với sinx cosx=sinx, phân tích sinx(cosx−1)=0: x=0 hoặc π. Rút gọn sinx sẽ mất đi nghiệm π.
Quadratic trigonometric equations and complete root sets
Replace one trig function by u, solve the algebraic equation, then solve each valid trig value on the stated interval
Explain the original interval, denominator or physical reference before using a trig equation.
How many solutions does 2sin²x−sinx−1=0 have on [0,2π)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinx=1 gives π/2; sinx=−1/2 gives 7π/6 and 11π/6: three angles.
Thử một cách tắt hấp dẫn
- Đếm số góc thay vì chỉ đếm nghiệm đại số: một giá trị sin 1 có một góc mỗi vòng quay, trong khi hầu hết các giá trị bên trong có hai. Loại bỏ các đầu ra sin/cos không thể xảy ra trước khi lấy hàm nghịch đảo. Không bao gồm 2π trong khoảng nửa mở, và không liệt kê điểm biên lặp lại hai lần.
- Khi một cách tắt thất bại, hãy xác định giả thiết mà nó vi phạm. Giữ nguyên giá trị chính xác cho đến khi làm tròn cuối cùng theo yêu cầu.
Mỗi nghiệm thực của tam thức bậc hai theo cosx đều là một giá trị cosin cho phép. Tuyên bố này là sai. Hãy giải thích định nghĩa hoặc giả thiết nào bị vi phạm.
How many solutions remain for 2cos²x−5cosx+2=0 on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Reject cosx=2; cosx=1/2 gives π/3 and 5π/3.
Every real root of a quadratic in cosx is an allowed cosine value.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Count angles rather than only algebraic roots: a sine value 1 has one angle per turn, while most interior values have two. Reject impossible sine/cosine outputs before taking inverse functions. Do not include 2π in a half-open interval, and do not list a repeated endpoint twice.
Giải thích tình huống mới
- Sử dụng đồng thức trước nếu cả sin và cos đều xuất hiện: 2sin²x+cosx−2=0 trở thành cosx(1−2cosx)=0, cho x=π/2,3π/2,π/3,5π/3 trên [0,2π). Một tích đã phân tích sẽ bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0. Kiểm tra mọi nghiệm ứng viên với miền xác định và khoảng ban đầu, đặc biệt sau khi chia hoặc bình phương.
- Một lời giải đầy đủ đưa ra kết quả toán học và giải thích ý nghĩa của nó. Kiểm tra xem điều đó có khả thi trong ngữ cảnh đã nêu hay không.
How many solutions does sinx cosx=sinx have on that interval?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Factor sinx(cosx−1)=0; x=0 and π, with 0 appearing only once.
Match each trig-equation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Count ANGLES, not algebraic roots: sin x=1 gives one angle per turn while an interior value like -1/2 gives two.
Sử dụng trong khóa học của bạn
- 7357 · A-level · E. Xác định cấp độ mục tiêu và chương trình học trước khi phân bổ nội dung nâng cao.
- Trình bày phương pháp trước đáp án cuối cùng, và tuân thủ quy tắc sử dụng máy tính cũng như công thức trong đề thi. Xem xét lại câu trả lời sai bằng cách tìm bước đầu tiên vi phạm.
Một lời giải khả thi vẫn cần được kiểm tra trong phương trình và khoảng ban đầu. Chọn mối liên hệ, trình bày phương pháp, kiểm tra các giả thiết và diễn giải kết quả.