Domains, inverses and composition
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | miền xác định |
Which inputs are allowed?
- A square-root model returns a real output only for some inputs. Its formula alone does not specify a complete function.
- This lesson studies domain 定义域: The set of allowed inputs to a function.
The method
- State the domain and range.
- For an inverse, first ensure the function is one-to-one on its domain.
- Composition fg means apply g first, then f; the intermediate output must be an allowed input to f.
Why must f(x)=x² have its domain restricted before an inverse is defined?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
x² sends both 3 and -3 to 9, so an unrestricted inverse could not choose a single value. Restricting to x≥0 makes the function one-to-one and the inverse √x well defined.
A worked case
For f(x)=√(x-2), x≥2 and the range is y≥0. From y=√(x-2), x=y²+2. Thus f inverse(x)=x²+2 with x≥0. For g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Domains, inverses and composition
State the domain and range
Compare the model with the worked case and explain one change.
For f(x)=2x+3, find f inverse(11).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Solve 2x+3=11, giving x=4.
Where it goes wrong
- Squaring can introduce extraneous solutions.
- Restricting a parabola's domain is essential before claiming an inverse.
- A horizontal translation inside f has the opposite sign to the graph's movement.
Not true: Every quadratic function on all real numbers has an inverse function. A quadratic on all real numbers is many-to-one (f(1)=f(−1) for x²), so its domain must be restricted first.
For f(x)=2x+3 and g(x)=x², find fg(4).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Apply g first: g(4)=16; then f(16)=2×16+3=35.
Every quadratic function on all real numbers has an inverse function.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
A quadratic on all real numbers is many-to-one (f(1)=f(−1) for x²), so its domain must be restricted first.
Applying it
- Check f(f inverse(x))=x on the inverse domain.
- Use a sketch to test whether a horizontal line meets the original graph more than once.
For f(x)=√(x-2), find f(11).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Substitute into the square root: √(11-2)=√9=3.
Match each composition concept to its meaning.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Composition order matters because the inner function runs first; its outputs must be allowed inputs of the outer function.
In your course
- AQA A-level Mathematics (7357), specification section B.
- Every paper allows a calculator, but method marks still need the expression or equation written before its value.
- Domain: The set of allowed inputs to a function.
- State the domain and range.
- Watch for: squaring can introduce extraneous solutions.