Xác định Tính liên tục tại một Điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | liên tục |
"Draw it without lifting your pen"
- Intuitively, a function is continuous 连续 at $c$ if its graph has no break there — no hole, no jump, no blow-up.
- But "no break" needs a precise test you can check, not just eyeball.
- Calculus pins it to three conditions, all about the point $c$.
- Pass all three and the curve flows smoothly through $\big(c, f(c)\big)$.
Đường cong không bị đứt đoạn
y = ax² + bx + c
Đa thức này thỏa mãn cả ba điều kiện liên tục tại mọi điểm — xác định, giới hạn tồn tại, và hai giá trị bằng nhau.
The three conditions
- (1) $f(c)$ is defined — the point actually exists (no hole).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists — both one-sided limits agree (no jump, no blow-up).
- (3) They are equal: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — the curve arrives exactly where the point sits.
- All three must hold. Continuity at $c$ is precisely conditions (1) + (2) + (3).
Three ways continuity fails: a removable hole and a jump and an infinite asymptote
Chọn tất cả các điều kiện cần thiết để $f$ liên tục tại $c$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Ba điều kiện là xác định, giới hạn tồn tại và bằng nhau. Việc là đa thức không bắt buộc.
Điều kiện liên tục thứ ba nói rằng giới hạn phải ____ giá trị hàm $f(c)$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Break any one → discontinuity
- Fail (1): the point is missing — a hole even if the limit exists.
- Fail (2): the sides disagree or the function blows up — a jump or infinite break.
- Fail (3): both exist but the dot floats off the curve — a removable hole plotted elsewhere.
- Each failure matches a discontinuity type from the previous lesson.
Nếu $f(c)=1$ và $\lim_{x\to c}f(x)=4$, thì tại $c$ hàm số là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Cả hai đều tồn tại nhưng không bằng nhau — điều kiện 3 thất bại, nên $f$ là gián đoạn (một lỗ hổng có thể loại bỏ).
Checking a specific point
- Plug in: is $f(c)$ a real number? (Condition 1.)
- Take the limit from both sides: do they agree on a value $L$? (Condition 2.)
- Compare: does $L=f(c)$? (Condition 3.)
- Only "yes, yes, yes" earns the label continuous at $c$.
Việc chỉ biết $f(c)$ được xác định là đủ để kết luận $f$ liên tục tại $c$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bạn cũng cần giới hạn tồn tại và bằng với $f(c)$.
Đối với $f(x)=x^2+1$, liệu $f$ có liên tục tại $x=2$ không?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Cả ba điều kiện đều thỏa mãn, nên $f$ liên tục tại $2$ (đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực).
Để $f$ liên tục tại $x=1$, ta cần $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Nếu $\lim_{x\to1}f(x)=7$, thì $f(1)$ phải bằng bao nhiêu?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Điều kiện 3 buộc $f(1)=7$.
All three conditions are needed — checking only that $f(c)$ exists, or only that the limit exists, is not enough. A function can have a perfectly good $f(c)=1$ and a perfectly good $\lim_{x\to c}f(x)=4$, yet still be discontinuous because $1\neq4$ (condition 3 fails).
Is $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ continuous at $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — defined. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — exists. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — not equal. ✗
- Condition (3) fails, so $f$ is discontinuous at $1$ (a removable hole with the point plotted at height $3$).
$f$ is continuous at $c$ exactly when three things hold: $f(c)$ is defined, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists, and the two are equal. Fail any one and you get a discontinuity — the failed condition tells you which type.