Khám phá Các loại Điểm gián đoạn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | điểm gián đoạn |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | điểm gián đoạn có thể loại bỏ |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | điểm gián đoạn nhảy |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | điểm gián đoạn vô cực |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | tiếp tuyến đứng |
Nơi đồ thị "bị gãy"
- Một đường cong liên tục có thể được vẽ mà không nhấc bút. Một điểm gián đoạn là sự ngắt quãng trong dòng chảy đó.
- Không phải sự ngắt quãng nào cũng giống nhau — có ba loại riêng biệt, mỗi loại đều có dấu hiệu đồ thị riêng.
- Việc gọi tên loại giúp bạn biết ngay lập tức sự ngắt quãng có thể được khắc phục hay không.
- Hãy cùng gặp gỡ cả ba: khả triệt tiêu, nhảy, và vô cực.
Khả triệt tiêu: một điểm thiếu hụt đơn lẻ
- Một điểm gián đoạn khả triệt tiêu chỉ đơn thuần là một lỗ hổng trên đường cong vốn dĩ trơn tru.
- Giới hạn tồn tại (cả hai phía gặp nhau ở một độ cao), nhưng $f(c)$ bị thiếu hoặc được vẽ ở nơi khác.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ có lỗ hổng tại $x=2$: giới hạn là $4$, nhưng $f(2)$ không xác định.
- Vì giới hạn tồn tại, bạn có thể "lấp đầy lỗ hổng" — do đó khả triệt tiêu (bài 1.13).
Tại $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ có giới hạn là $6$ nhưng $f(3)$ không xác định. Điểm gián đoạn này...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giới hạn tồn tại nhưng giá trị hàm bị thiếu — một lỗ hổng, tức là có thể loại bỏ được.
Nhảy: hai bên không đồng ý
- Một điểm gián đoạn nhảy xảy ra khi giới hạn trái và giới hạn phải đều hữu hạn nhưng khác nhau.
- Đồ thị bật từ độ cao này sang độ cao khác — hãy nghĩ đến bậc thang hoặc ngưỡng thuế suất.
- Tại đây $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ không tồn tại, vì các giới hạn một phía không đồng ý.
- Không có giá trị điểm đơn lẻ nào có thể nối liền khoảng trống có độ rộng khác không, nên sự跳跃 là không khả triệt tiêu.
Đường cong bị phóng to vô cực
y = a / (x − b)
Hàm nghịch đảo tiến tới $\pm\infty$ gần nơi mẫu số bằng không — đó là điểm gián đoạn vô cực và tiệm cận đứng.
Điểm gián đoạn bước nhảy có thể được loại bỏ bằng cách định nghĩa lại hàm tại điểm đơn lẻ đó.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các giới hạn một phía khác nhau, nên không có giá trị đơn lẻ nào nối liền khoảng trống — bước nhảy không thể loại bỏ được.
Hàm bậc thang là $1$ cho $x<0$ và $4$ cho $x\ge0$. Kích thước bước nhảy tại $x=0$ là bao nhiêu?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Phía sau trừ phía trước: $4-1=3$.
Vô cực: tiến về $\pm\infty$
- Một điểm gián đoạn vô cực là nơi hàm số tăng trưởng không giới hạn gần $c$.
- Đồ thị lao vút lên hoặc xuống dọc theo một tiệm cận đứng — như trong $f(x)=\dfrac1{x-2}$ tại $x=2$.
- Giới hạn là vô cực (hoặc không tồn tại), nên sự ngắt quãng này cũng không khả triệt tiêu.
- Dấu hiệu: mẫu số tiến tới 0 trong khi tử số không.
Điểm gián đoạn vô cực xuất hiện trên đồ thị dưới dạng một đường ____ đứng.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hàm tăng không giới hạn dọc theo đường tiệm cận đứng.
Loại điểm gián đoạn nào là loại duy nhất mà giới hạn hai phía tồn tại?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Có thể loại bỏ = một lỗ hổng mà cả hai phía đều đồng ý, nên giới hạn tồn tại.
Chọn tất cả các hàm có điểm gián đoạn vô cực tại điểm được đánh dấu.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hàm thứ ba có thể loại bỏ (giới hạn $=2$). Các hàm còn lại bị phóng to đến $\pm\infty$.
Chỉ có loại khả triệt tiêu mới có giới hạn hai phía thực sự. Đối với điểm gián đoạn跳跃 và vô cực, giới hạn không tồn tại, nên không có cách định nghĩa lại tinh vi nào tại điểm đơn lẻ có thể làm cho hàm số trở nên liên tục. Đừng cố gắng "lấp đầy" sự跳跃 — khoảng trống có độ rộng thực tế.
Phân loại điểm gián đoạn của từng hàm tại điểm đã đánh dấu:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ tại $x=3$: giới hạn $=6$, giá trị không xác định → khả triệt tiêu (lỗ hổng).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ tại $x=0$: trái $\to1$, phải $\to2$ → 跳跃.
- $\dfrac{1}{x^2}$ tại $x=0$: tăng trưởng tới $+\infty$ → vô cực.
Ba loại điểm gián đoạn: khả triệt tiêu (một lỗ hổng — giới hạn tồn tại nhưng $f(c)$ không khớp), 跳跃 (các giới hạn một phía hữu hạn không đồng ý), và vô cực (không giới hạn gần $c$, một tiệm cận đứng). Chỉ có loại khả triệt tiêu mới có giới hạn hai phía, nên chỉ có nó mới có thể được khắc phục.