Xác định Giới hạn và Sử dụng Ký hiệu Giới hạn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | giới hạn |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | tiến tới |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | giới hạn một phía |
| left-hand/left hænd/ | phía trái |
| right-hand/raɪt hænd/ | phía phải |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | giới hạn hai phía |
Đồ thị đang hướng về đâu?
- Hãy bỏ qua điểm đơn lẻ một chút — hãy hỏi xem đường cong đang hướng về đâu khi bạn trượt $x$ về một giá trị cụ thể.
- Theo dõi $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x$ tiến gần đến $1$. Thay $x=1$ vào và bạn sẽ nhận được $\tfrac{0}{0}$ — vô nghĩa.
- Thế nhưng các giá trị đầu ra lại tiến dần ổn định về $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- Hàm số có một lỗ hổng tại $x=1$, nhưng rõ ràng nó đang nhắm vào $2$. Giá trị mục tiêu đó chính là giới hạn.
Quan sát hướng đi của đường cong
y = ax² + bx + c
Kéo các hệ số và chọn một giá trị đầu vào $c$ trong tâm trí — giới hạn là độ cao mà đường cong tiến tới gần $c$, không phải chính điểm đó.
Viết ký hiệu giới hạn
- Chúng ta viết $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ và đọc là "giới hạn của $f$ của $x$, khi $x$ tiến tới $c$, bằng $L$."
- $c$ là đầu vào mà ta tiệm cận; $L$ là đầu ra mà hàm số hướng tới.
- Quan trọng là, $x \to c$ có nghĩa là "tiến gần đến $c$" — không bao giờ "bằng $c$." Chúng ta không chạm trực tiếp vào điểm đó.
- Đối với ví dụ của chúng ta: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, ngay cả khi $f(1)$ không tồn tại.
Ký hiệu $\lim_{x \to c} f(x) = L$ có nghĩa là khi $x$...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$x \to c$ có nghĩa là $x$ tiến tới $c$ mà không chạm vào nó, và $f(x)$ tiến về phía $L$.
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Phân tích: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ cho $x\neq3$, cái tiến tới $3+3=6$.
Tiếp cận từ bên trái và bên phải
- Bạn có thể tiếp cận $c$ từ hai hướng, và mỗi hướng có một giới hạn một phía riêng.
- Từ phía dưới ($x$ nhỏ hơn sedikit so với $c$): giới hạn trái, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- Từ phía trên ($x$ lớn hơn sedikit so với $c$): giới hạn phải, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- Các ký hiệu nhỏ $-$ và $+$ nằm ở phía trên $c$ để chỉ hướng di chuyển.
Biểu thức nào là giới hạn phải của $f$ tại $c$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chỉ số trên $+$ của $c$ có nghĩa là $x$ tiến tới từ phía trên — tức là phía bên phải.
Hai vế phải đồng thuận
- Giới hạn hai phía $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ chỉ tồn tại khi cả hai giới hạn một phía đều tồn tại và bằng nhau.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- Nếu bên trái tiến tới một giá trị và bên phải tiến tới một giá trị khác, giới hạn hai phía không tồn tại (DNE).
Giới hạn hai phía tại $c$ chỉ tồn tại khi giới hạn trái và giới hạn phải đều tồn tại và ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Cả hai giới hạn một phía phải đồng ý về một giá trị duy nhất $L$.
Chọn tất cả các trường hợp mà $\lim_{x\to c} f(x)$ không tồn tại.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giới hạn thất bại khi hai bên không đồng ý, giá trị vô hạn, hoặc dao động. Sự khác biệt với $f(c)$ đơn thuần không loại bỏ giới hạn — nó chỉ phá vỡ tính liên tục.
Giới hạn nói về chuyến đi, không phải điểm đích. $\lim_{x \to c} f(x)$ có thể tồn tại ngay cả khi $f(c)$ không xác định, và nó có thể khác với $f(c)$ khi điểm được vẽ ở đâu đó trên đường cong. Đừng bao giờ giả định $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — đó là trường hợp đặc biệt (tính liên tục), không phải quy tắc.
Nếu $f(c)$ không xác định, thì $\lim_{x \to c} f(x)$ không thể tồn tại.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giới hạn nói về sự tiến tới, không phải về điểm. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ ngay cả khi $f(1)$ không xác định.
Đối với hàm phân đoạn, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ và $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- Bên trái tiến tới $3$; bên phải tiến tới $5$.
- Chúng không đồng thuận, nên $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ không tồn tại — đồ thị bị bứt tại $x=2$.
- Điều này đúng bất kể giá trị nào (nếu có) được vẽ tại $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ cho biết $f(x)$ tiến về $L$ khi $x$ tiến gần $c$ từ cả hai phía — mà không bao giờ chạm vào $c$. Giới hạn hai phía tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải đều tồn tại và bằng nhau. Giới hạn mô tả nơi hàm đang đi, điều này không nhất thiết bằng $f(c)$.