Tìm Đạo hàm của Hàm Tang, Cotangent, Secant, và Cosecant
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | Hàm lượng giác |
Bốn hàm lượng giác còn lại
- Chúng ta đã biết $\sin'=\cos$ và $\cos'=-\sin$. Bốn hàm lượng giác còn lại đều là thương của những hàm này.
- Vì vậy Quy tắc thương suy ra đạo hàm của chúng — không có phép màu mới, chỉ là đại số cẩn thận.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Học thuộc bốn kết quả, nhưng biết rằng chúng đến từ Quy tắc thương.
Bốn đạo hàm này đều thu được bằng cách...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi $\tan,\cot,\sec,\csc$ là một thương của $\sin$/$\cos$.
Suy ra $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Quy tắc thương: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Vì $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- Vậy $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ và tương tự, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
Sóng sine mà tỷ lệ tạo ra tan
$\tan x=\sin x/\cos x$; đạo hàm $\sec^2 x$ luôn dương — tan tăng ở mọi nơi xác định.
$\dfrac{d}{dx}[\tan x]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Từ Quy tắc Thương trên $\sin/\cos$: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là $-\csc^2 x$.
Cặp secant và cosecant
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Quy luật: các hàm "co-" ($\cos,\cot,\csc$) đều mang dấu trừ trong đạo hàm của chúng.
- Mỗi hàm trong số bốn hàm này cũng xuất phát từ Quy tắc thương áp dụng cho một $\tfrac1{\cos}$ hoặc $\tfrac1{\sin}$.
$\dfrac{d}{dx}[\sec x]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
Đạo hàm của $\cot x$ và $\csc x$ đều mang dấu trừ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$-\csc^2 x$ và $-\csc x\cot x$ — các hàm "co-" mang dấu trừ.
Sử dụng chúng với các quy tắc khác
- Các đạo hàm lượng giác này kết hợp với quy tắc tích và thương như bất kỳ hàm nào khác.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Quy tắc tích).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Giữ sẵn bốn kết quả trong khung; chúng xuất hiện khắp nơi trong phần còn lại của khóa học.
Chọn tất cả các đạo hàm đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Dòng cuối sai: nên là $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, không phải $\sec^2 x$.
Quan sát các dấu trừ trên các hàm "co-": $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ và $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ đều mang dấu trừ, tương ứng với $\cos'=-\sin$. Nhầm lẫn $\sec^2 x$ (từ $\tan$) với $\csc^2 x$ (từ $\cot$) là một lỗi phổ biến khác — hãy ghép mỗi đạo hàm với nguồn gốc của nó.
Vi phân $y=x^2\sec x$.
- Quy tắc tích với $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Nhân tử: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
Bốn đạo hàm lượng giác phụ trigonometric còn lại đều suy ra từ Quy tắc Thương: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. Các hàm "co-" mang dấu minus. Kết hợp chúng tự do với quy tắc tích và quy tắc thương.