Quy tắc Tích
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | Quy tắc tích |
Tại sao tích lại cần quy tắc riêng
- Lừa dối nhưng sai: đạo hàm của một tích không phải là tích của các đạo hàm.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, nhưng $f'g'=1\cdot1=1$. Hai kết quả không khớp nhau.
- Tích cần một công cụ riêng: Quy tắc tích.
- Nó tính đến việc cả hai thừa số đều thay đổi cùng lúc.
Đạo hàm của $f\cdot g$ bằng $f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là $f'g+fg'$, không phải $f'g'$.
Quy tắc
- Đối với tích của hai hàm số:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- By lời: "đạo hàm của hàm đầu tiên nhân với hàm thứ hai, cộng với hàm đầu tiên nhân với đạo hàm của hàm thứ hai."
- Mỗi hạng tử đạo hàm một thừa số và giữ nguyên thừa số kia; sau đó bạn cộng lại.
Quy tắc Tích phát biểu rằng $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của thừa số đầu nhân thừa số thứ hai, cộng với thừa số đầu nhân đạo hàm của thừa số thứ hai.
Một mẫu giải bài toán gọn gàng
- Đạo hàm $y=x^2\,e^x$. Đặt $f=x^2$ và $g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- Rút gọn nếu yêu cầu: $y'=x e^x(2+x)$.
Độ dốc thay đổi của một tích
y = ax² + bx
Một tích như $x^2 e^x$ có độ dốc kết hợp cả hai thừa số — Quy tắc Tích bắt được cả hai cùng thay đổi.
Vi phân $y=x^2 e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
Đối với $y=x\sin x$, dùng quy tắc tích để tìm $y'$ tại $x=0$. (Nhớ $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$; tại $0$: $0+0\cdot1=0$.
Khi nào thực sự cần dùng nó
- Nếu một tích có thể khai triển trước, hãy làm vậy — có lẽ sẽ dễ hơn ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- Nhưng khi các thừa số không rút gọn được (như $x^2\sin x$ hoặc $e^x\ln x$), thì quy tắc bắt buộc phải dùng.
- Kết hợp tự do với quy tắc lũy thừa và các đạo hàm cơ bản cho từng thừa số.
- Gán nhãn cho $f,f',g,g'$ trước — sắp xếp khoa học giúp tránh sai sót.
Đối với $y=x^2\cdot x^3$, bước thông minh nhất ban đầu là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rút gọn về $x^5$ trước sẽ dễ hơn: $5x^4$. Chỉ dùng Quy tắc Tích khi các thừa số không thể kết hợp.
Trong mỗi số hạng của Quy tắc Tích, điều nào sau đây đúng?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mỗi số hạng chỉ viên đạo một thừa số; cộng hai số hạng lại. Viên đạo cả hai trong một số hạng là lỗi điển hình.
Quy tắc tích là $f'g+fg'$, không phải $f'g'$. Cả hai hạng tử đều cần thiết, và mỗi hạng tử giữ nguyên thừa số kẻ khác chưa đạo hàm. Lỗi rất hay gặp là đạo hàm cả hai thừa số trong cùng một hạng tử — đừng làm vậy. Chính xác một thừa số được đạo hàm trong mỗi hạng tử.
Vi phân $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- Không thừa số nào có thể rút gọn đi, nên Quy tắc tích là cần thiết.
Quy tắc tích: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — đạo hàm từng thừa số một và cộng lại. Sử dụng nó bất cứ khi nào tích của các hàm khả vi không thể rút gọn trước. Nó không phải $f'g'$; mỗi hạng tử đạo hàm đúng một thừa số.