Đạo hàm của cos x, sin x, eˣ, và ln x
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | hàm mũ |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | hàm logarit |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | đạo hàm cơ bản |
Bốn đạo hàm đáng nhớ
- Quy tắc lũy thừa dừng lại ở lũy thừa của $x$. Vượt ra ngoài là các hàm cơ bản.
- Bốn hàm trong số đó xuất hiện thường xuyên, nên đạo hàm của chúng worth knowing cold.
- Chúng là $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, và $\ln x$.
- Học bốn hàm này và, với các quy tắc trước đó, bạn có thể vi phân một phạm vi rộng lớn các biểu thức.
Cặp lượng giác
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — lưu ý dấu trừ.
- Một kiểm tra tiện lợi: độ dốc của $\sin x$ tại $0$ là $1$ (độ dốc tăng nhanh nhất), và $\cos 0=1$. ✓
- (Những công thức này yêu cầu $x$ ở radian — các công thức gọn gàng chỉ đúng ở đó.)
Độ dốc của sine là cosine
Nơi $\sin x$ dốc nhất (tại $0$) độ dốc là $1$ — chính xác $\cos 0$. Đạo hàm của $\sin$ là $\cos$.
$\dfrac{d}{dx}[\sin x]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (cẩn thận dấu).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của cosine là $-\sin x$.
Hàm mũ và logarit
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — hàm mũ là đạo hàm của chính nó. Độ dốc luôn bằng độ cao của nó.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — đạo hàm của logarit, hợp lệ cho $x>0$.
- $e^x$ là hàm duy nhất không thay đổi dưới quá trình vi phân.
- $\ln x$ trở thành nghịch đảo đơn giản $\tfrac1x$ — một kết quả đáng ngạc nhiên gọn gàng.
$e^x$ chính là đạo hàm của nó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — duy nhất trong các hàm số.
$\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ là gì (đối với $x>0$)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Kết hợp chúng với các quy tắc tổng
- Các đạo hàm cơ bản này được chèn trực tiếp vào các quy tắc tổng, hiệu và nhân hằng số.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Đạo hàm từng hạng tử bằng quy tắc riêng của nó, sau đó gộp lại — không có điều gì mới cần học ngoài bốn kiến thức nền tảng.
Vi phân $3\sin x-2e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$3\cos x$ và $e^x$ giữ nguyên $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Chọn tất cả các đạo hàm sơ cấp đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Dòng cuối sai — nên là $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, không phải $x$.
Cẩn thận với dấu và tập xác định. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (dấu trừ là lỗi phổ biến nhất). $e^x$ chính là đạo hàm của chính nó — không áp dụng Quy tắc lũy thừa lên nó. Và $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ chỉ đúng trong khoảng $x>0$, tập xác định của $\ln$.
Vi phân $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Ghi nhớ bốn đạo hàm cơ bản: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Chúng kết hợp với các quy tắc tổng/hiệu/nhân hằng số để đạo hàm các biểu thức hỗn hợp. Chú ý dấu trừ trên $\cos$, giữ $x$ ở đơn vị radian, và nhớ rằng $e^x$ chính là đạo hàm của chính nó.