Quy tắc Đạo hàm: Hằng số, Tổng, Hiệu, và Hằng số Nhân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức |
Bốn quy tắc chia nhỏ đa thức
- Quy tắc lũy thừa xử lý một số hạng. Để vi phân một đa thức hoàn chỉnh, bạn cần kết hợp các số hạng.
- Bốn quy tắc đơn giản cho phép bạn làm điều đó từng số hạng, ngay trong đầu.
- Chúng bao gồm hằng số, tổng, hiệu, và hệ số.
- Kết hợp với Quy tắc lũy thừa, chúng giúp vi phân bất kỳ đa thức nào trong một lượt.
Hằng số, tổng và hiệu
- Quy tắc hằng số: đạo hàm của một hằng số là $0$. Đường thẳng nằm ngang có độ dốc bằng không: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Quy tắc tổng: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — vi phân từng phần và cộng lại.
- Quy tắc hiệu: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — tương tự, nhưng dùng dấu trừ.
- Vì vậy bạn có thể tách biểu diễn dài ra và xử lý từng số hạng riêng biệt.
$\dfrac{d}{dx}[12]$ là gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào là $0$.
Theo quy tắc tổng, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Viên đạo từng phần rồi cộng lại.
Hằng số nhân
- Quy tắc hằng số nhân: hệ số chỉ giữ nguyên vị trí: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- Số ở phía trước không bị ảnh hưởng bởi quá trình vi phân; chỉ phần $x$ thay đổi.
- Kết hợp với quy tắc tổng: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
Một đa thức bậc ba và hệ số góc thay đổi của nó
y = ax³ + bx
Đạo hàm của một đa thức là một đa thức khác — kéo các hệ số số và hình dung nơi hệ số góc dương hay âm.
Nếu $f(x)=5x^3$, hãy tìm $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=15x^2$, do đó $f'(2)=15\cdot4=60$.
Đối với $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, chọn tất cả các đạo hàm của số hạng đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hằng số $-8$ có đạo hàm là $0$, không phải $-8$.
Vi phân đa thức trong một lượt
- Đọc đa thức từng số hạng, áp dụng Quy tắc lũy thừa và hệ số khi tiến hành.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Notice the constant $-9$ vanishes, and the $7x$ becomes just $7$.
- Với sự luyện tập, bạn có thể viết trực tiếp đạo hàm, không cần nháp.
Vi phân $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Theo từng số hạng: $12x^3$, $-4x$, $+7$, và hằng số $\to 0$.
Quy tắc tổng cho phép bạn tính $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ như $f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc tổng/sai phân chia qua $+$ và $-$; một tích cần Quy tắc Tích.
Không có "cách tắt quy tắc tích" nào lén lút ở đây: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ không phải $f'\cdot g'$. Các quy tắc tổng/hiệu chỉ chia cắt qua $+$ và $-$ thôi. Tích và thương cần những quy tắc riêng (bài 2.8–2.9). Ngoài ra, đạo hàm của hằng số là $0$, không phải chính hằng số đó.
Vi phân $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Viết lại: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Từng số hạng: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, và $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Bốn quy tắc kết hợp: hằng số $\to 0$; tổng/hiệu vi phân từng số hạng; hằng số nhân giữ nguyên hệ số ở phía trước ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). Với Quy tắc lũy thừa, chúng vi phân bất kỳ đa thức nào trong một lượt — nhưng chỉ chia cắt qua $+$ và $-$, chưa bao giờ chia cắt qua tích.