Áp dụng Quy tắc Lũy thừa
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | lũy thừa |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | Quy tắc lũy thừa |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | số nguyên |
Một cách tắt thay thế cho giới hạn
- Tính đạo hàm từ định nghĩa giới hạn cho từng hàm đều rất chậm. Có một quy luật.
- Đối với lũy thừa của $x$, chỉ cần một quy tắc để làm việc ngay lập tức: Quy tắc lũy thừa.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Mang số mũ xuống làm hệ số, sau đó trừ đi một từ số mũ."
Một lũy thừa và hệ số góc tiếp tuyến của nó
y = x²
Đối với $y=x^2$, quy tắc lũy thừa cho ra hệ số góc $2x$ — di chuyển điểm và kiểm tra hệ số góc tiếp tuyến khớp với $2x$.
Hãy xem nó hoạt động như thế nào
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — số $3$ được hạ xuống phía trước, số mũ giảm đi $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — đạo hàm của $x$ là $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Nó khớp với định nghĩa giới hạn (chúng ta đã tìm thấy $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) nhưng chỉ mất một dòng.
$\dfrac{d}{dx}[x^5]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lấy xuống $5$, giảm số mũ: $5x^{5-1}=5x^4$.
Nếu $f(x)=x^4$, hãy tìm $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=4x^3$, do đó $f'(2)=4\cdot8=32$.
Điều này đúng với bất kỳ số mũ nào
- $n$ có thể là số mũ âm hoặc hữu tỉ (phân số), không chỉ là số nguyên dương.
- Âm: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Hữu tỉ: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Cùng một quy tắc mỗi lần — mang xuống $n$, giảm số mũ đi một.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. Lũy thừa $\square$ là ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Giảm $-2$ đi một đơn vị: $-2-1=-3$.
Quy tắc lũy thừa đạo hàm trực tiếp cái nào trong số này (sau khi viết lại)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tất cả đều là lũy thừa của $x$ sau khi viết lại; $5^x$ là hàm mũ, không phải lũy thừa của $x$.
Viết lại trước, sau đó vi phân
- Căn thức và nghịch đảo ẩn chứa lũy thừa — hãy viết chúng dưới dạng $x^n$ trước khi áp dụng quy tắc.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, do đó $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, do đó $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Biến đổi mọi số hạng thành lũy thừa là bước chuẩn bị then chốt.
Viết lại và đạo hàm: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ bằng...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
Quy tắc lũy thừa áp dụng cho $2^x$, cho ra $x\cdot 2^{x-1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc lũy thừa cần cơ số biến số với số mũ hằng số; $2^x$ là hàm mũ (tiết học tới).
Quy tắc lũy thừa dành cho biến cơ số với số mũ hằng ($x^n$). Nó không áp dụng cho hằng cơ số với biến số mũ — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Đây là hàm mũ, sẽ được xử lý trong bài học tiếp theo). Và đừng quên giảm số mũ: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, không phải $-2x^{-2}$.
Vi phân $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Viết lại dưới dạng lũy thừa: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Áp dụng quy tắc lũy thừa từng số hạng: $\tfrac23 x^{-1/3}$ và $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Quy tắc lũy thừa $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ hoạt động cho bất kỳ số mũ hằng nào — nguyên, âm, hoặc hữu tỉ. Viết lại căn thức và nghịch đảo thành lũy thừa trước, sau đó mang số mũ xuống và giảm đi một. Nó thay thế định nghĩa giới hạn cho các hàm lũy thừa.