Ước tính Đạo hàm của Hàm số tại Một Điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | giá trị ước lượng |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | thương sai phân |
Đo lường độ dốc không thể tính chính xác
- Đôi khi bạn chỉ có đồ thị hoặc bảng, chứ không có công thức — nhưng vẫn muốn tìm $f'$ tại một điểm.
- Bạn có thể ước lượng đạo hàm từ những gì bạn có.
- Từ đồ thị: đo độ dốc của đường tiếp tuyến bằng mắt thường.
- Từ bảng: sử dụng tỷ số sai phân trên các giá trị đầu vào gần nhất có sẵn.
Ước lượng hệ số góc bằng mắt thường
y = x²
Di chuyển điểm và quan sát đường tiếp tuyến — độ dốc của nó chính là đạo hàm mà bạn sẽ ước lượng từ đồ thị.
Từ đồ thị: độ dốc tiếp tuyến
- Vẽ (hoặc tưởng tượng) đường tiếp tuyến tại điểm đó, sau đó đọc độ dốc của nó như là độ cao chia độ ngang (rise ÷ run).
- Chọn hai điểm rõ ràng trên đường tiếp tuyến, không phải trên đường cong, và tính $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Đường tiếp tuyến càng dốc → $|f'|$ càng lớn; đường tiếp tuyến phẳng → $f'\approx0$.
- Đường tiếp tuyến đi lên → đạo hàm dương; đi xuống → đạo hàm âm.
Để ước tính $f'(a)$ từ đồ thị, bạn nên đo hệ số góc của...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm là hệ số góc tiếp tuyến, đọc từ các điểm trên đường tiếp tuyến.
Từ bảng: tỷ số sai phân gần nhất
- Với dữ liệu bảng, ước lượng $f'(a)$ bằng tỷ số sai phân trên các điểm gần nhất:
- Ước lượng đối xứng là tốt nhất: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, sử dụng một điểm ở mỗi bên.
- Hoặc dùng tỷ số một phía $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ nếu chỉ có một hàng xóm.
- ⟨$h$⟩ nhỏ hơn (đầu vào gần nhau hơn) thường cho ra ước lượng tốt hơn.
Một bảng cho biết $f(1.9)=4.2$ và $f(2.1)=5.8$. Sử dụng thương sai phân đối xứng để ước tính $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
Sử dụng các giá trị đầu vào gần hơn với điểm thường cải thiện ước tính đạo hàm dựa trên bảng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Khoảng cách nhỏ hơn xấp xỉ tốt hơn hệ số góc tiếp tuyến.
Đạo hàm đọc từ bảng hay đồ thị là một ____, không phải giá trị chính xác.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chỉ phép toán đại số trên công thức mới cho ra đạo hàm chính xác.
Từ $f(3)=10$ và $f(3.2)=11.4$, ước tính $f'(3)$ bằng thương sai phân một phía.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
Đọc dấu và kích thước
- Dấu của ước lượng cho biết hướng $f$ đang di chuyển: $+$ tăng, $-$ giảm.
- Kích thước cho biết tốc độ: một đạo hàm là $12$ có nghĩa là $f$ thay đổi khoảng $12$ đơn vị trên mỗi đơn vị $x$ tại đó.
- Luôn gắn đơn vị và giải thích trong ngữ cảnh (ví dụ: "nhiệt độ đang tăng khoảng $2^\circ$°C mỗi phút").
- Một ước lượng là sự xấp xỉ — hãy nói rõ điều đó và sử dụng dữ liệu gần nhất mà bạn có.
Nếu đạo hàm ước tính tại một điểm mang dấu âm, thì hàm số tại đó...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ âm có nghĩa là hàm số đang giảm tại đó.
Khi ước lượng từ đồ thị, đọc độ dốc của đường tiếp tuyến, không phải của dây cung gần đó, và lấy hai điểm của bạn từ đường tiếp tuyến, không phải từ đường cong. Từ bảng, đừng tái sử dụng điểm $a$ chính nó làm cả hai đầu vào — bạn cần hai giá trị đầu vào khác nhau bao quanh (hoặc tiến tới) $a$.
Một bảng cho $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$. Hãy ước lượng $f'(2)$.
- Tỷ số sai phân đối xứng: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (Một ước lượng một phía $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ khá gần nhưng cân bằng kém hơn.)
- Vậy $f'(2)\approx8.5$ — $f$ đang tăng với tốc độ khoảng $8.5$ đơn vị trên mỗi đơn vị $x$.
Để ước lượng đạo hàm: từ đồ thị, đọc độ dốc của đường tiếp tuyến (độ cao chia độ ngang dựa trên các điểm trên tiếp tuyến); từ bảng, sử dụng tỷ số sai phân trên các giá trị đầu vào gần nhất — tỷ số đối xứng $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ chính xác nhất. Dấu cho biết hướng, kích thước cho biết tốc độ.