Định nghĩa Đạo hàm của Hàm số và Sử dụng Ký hiệu Đạo hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
Đạo hàm: tốc độ tức thời, được đóng gói
- Tốc độ thay đổi tức thời hữu ích đến mức nó có tên riêng: đạo hàm.
- Nó biến "độ dốc của đường tiếp tuyến tại mỗi $x$" thành một hàm mới hoàn toàn, $f'(x)$.
- Đưa vào một $x$, nó sẽ trả về độ dốc của $f$ ngay tại đó.
- Bài học này làm rõ định nghĩa và chỉ ra các ký hiệu bạn sẽ sử dụng ở mọi nơi.
Đạo hàm chính là hệ số góc tiếp tuyến
y = x²
Kéo điểm dọc theo đường cong — con số mà hệ số góc tiếp tuyến hiển thị đúng bằng $f'(x)$ tại đầu vào đó.
Định nghĩa giới hạn
- Đạo hàm của $f$ là
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Bên trong là một tỷ số sai phân — độ dốc của dây cung trên một khoảng có độ rộng $h$.
- Khi cho $h\to0$ tiến tới, khoảng thu nhỏ lại thành vô cùng bé, biến độ dốc dây cung thành độ dốc tiếp tuyến.
Biểu thức nào là định nghĩa giới hạn của $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm là giới hạn của thương sai phân khi $h\to0$.
Phiên bản "tại một điểm"
- Để tìm độ dốc tại một giá trị đầu vào cụ thể $a$, hãy sử dụng dạng thay thế:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Ở đây $x$ trượt về phía $a$ thay vì bước $h$ co lại thành $0$ — cùng ý tưởng, nhưng cách ghi chép khác nhau.
- Cả hai định nghĩa đều chỉ là "độ dốc dây cung, trong giới hạn", nên chúng luôn đồng nhất.
Bạn có thể tính $f'(x)$ bằng cách thay trực tiếp $h=0$ vào $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Điều này cho ra $\tfrac00$; bạn phải lấy giới hạn sau khi rút gọn.
Dạng thay thế $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ được mô tả tốt nhất là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là hệ số góc tiếp tuyến giống nhau tại $a$, được biểu diễn bằng $x\to a$ thay vì $h\to0$.
Đọc các ký hiệu
- Một đạo hàm cũng có nhiều cách biểu diễn — hãy học cách nhận diện tất cả chúng:
- Lagrange: $f'(x)$ (đọc là "$f$ prime của $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ hoặc $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — nhấn mạnh "tốc độ $y$ theo $x$".
- Tất cả đều mang ý nghĩa tốc độ biến thiên tức thời, tức là độ dốc của đường tiếp tuyến tại $x$.
Ký hiệu Leibniz $\dfrac{dy}{dx}$ mang ý nghĩa giống như $f'(x)$: đó là ____ của đường tiếp tuyến.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cả hai đều biểu thị tốc độ biến thiên tức thời = hệ số góc tiếp tuyến.
Chọn tất cả ký hiệu biểu thị đạo hàm của $y=f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ba kết quả đầu tiên đều là đạo hàm; $f(x)^{-1}$ là nghịch đảo/đảo ngược, không phải là đạo hàm.
Bạn không được chỉ đơn giản thay $h=0$ vào $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — điều đó sẽ cho ra kết quả $\tfrac00$. Đạo hàm là giới hạn khi $h\to0$, và bạn tính bằng cách rút gọn tỷ số sai phân trước (triệt tiêu $h$), sau đó cho $h\to0$ tiến tới. Bỏ qua bước giới hạn là lỗi phổ biến nhất.
Từ định nghĩa, $f(x)=x^2$ cho ra $f'(x)=2x$. Tính $f'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Sử dụng định nghĩa để tìm $f'(x)$ cho $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (cho $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, do đó $f'(x)=2x$.
Đạo hàm $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (hoặc dạng điểm $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) là giới hạn của một tỷ số sai phân — độ dốc của đường tiếp tuyến, tức tốc độ biến thiên tức thời. Viết nó dưới dạng $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, hoặc $\frac{d}{dx}[f(x)]$.