Xác định Tốc độ Thay đổi Trung bình và Tức thời tại một Điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tốc độ biến thiên trung bình |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tốc độ biến thiên tức thời |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | thương sai phân |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | đường cắt |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | tiếp tuyến |
Từ "trên một khoảng" đến "tại một thời điểm"
- Đơn vị 1 đã xây dựng khái niệm giới hạn. Bây giờ ta sử dụng nó để đo lường sự thay đổi.
- Trên một khoảng, tốc độ thay đổi trung bình là tổng thay đổi ÷ độ rộng khoảng.
- Tại một thời điểm duy nhất, tốc độ thay đổi tức thời là những gì đồng hồ tốc độ hiển thị.
- Cầu nối giữa chúng là một giới hạn — và chính cây cầu đó là toàn bộ ý nghĩa của Đơn vị 2.
Tốc độ trung bình = độ dốc của dây cung
- Tốc độ thay đổi trung bình của $f$ từ $x=a$ đến $x=b$ là **biểu thức hiệu
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Về mặt hình học, đây là độ dốc của đường cát tuyến nối $\big(a,f(a)\big)$ và $\big(b,f(b)\big)$.
- Đây là giá trị trung bình: nó làm phẳng mọi biến động xảy ra giữa $a$ và $b$.
Tìm tốc độ thay đổi trung bình của $f(x)=x^2$ trên $[1,3]$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
Tốc độ thay đổi trung bình trên một khoảng bằng độ dốc của...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ thay đổi trung bình = độ dốc chia độ chạy giữa hai đầu mút = độ dốc dây cắt.
Thu hẹp khoảng cách
- Để tìm tốc độ tại $x=a$, trượt $b$ tiến gần $a$ và quan sát độ dốc của dây cắt.
- Khi khoảng cách thu hẹp, đường cát tuyến quay hướng về phía đường tiếp tuyến tại $a$.
- Giới hạn độ dốc chính là tốc độ thay đổi tức thời tại $a$.
- Không có thời gian nào thực sự trôi qua tại một khoảnh khắc — chỉ có giới hạn mới khiến khái niệm "tốc độ tại một điểm" trở nên có ý nghĩa.
Trượt dây cắt vào tiếp tuyến
y = x²
Di chuyển điểm dọc theo $y=x^2$ — độ dốc tiếp tuyến bạn đọc được là tốc độ tức thời, giới hạn của các độ dốc dây cắt.
Tốc độ thay đổi tức thời tại một điểm bằng độ dốc của đường ____ tại đó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó là giới hạn của các độ dốc dây cắt khi khoảng thu hẹp — độ dốc tiếp tuyến.
Đọc hiểu tốc độ trong ngữ cảnh
- Dấu cho biết hướng: tốc độ dương → tăng, âm → giảm.
- Độ lớn cho biết tốc độ: giá trị tuyệt đối càng lớn thì sự thay đổi diễn ra càng nhanh.
- Đơn vị rất quan trọng: đối với vị trí tính bằng mét theo thời gian tính bằng giây, tốc độ có đơn vị $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — vận tốc.
- Vậy tốc độ trung bình = độ dốc đường cát tuyến (trên một khoảng); tốc độ tức thời = độ dốc đường tiếp tuyến (tại một điểm).
Nếu tốc độ thay đổi trung bình của $f$ trên $[0,4]$ là $0$, thì $f$ phải là hằng số trên $[0,4]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó chỉ có nghĩa là $f(0)=f(4)$; $f$ có thể tăng rồi giảm (ví dụ: đi ra và quay lại).
Đối với $f(x)=x^2$, các tốc độ trung bình trên $[3,3.1]$ và $[3,3.01]$ là $6.1$ và $6.01$. Ước tính tốc độ tức thời tại $x=3$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Các giá trị trung bình tiến gần đến $6$.
Hàm vị trí có tốc độ tức thời là $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ tại thời điểm $t$. Chọn tất cả các phát biểu đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ âm = di chuyển theo hướng âm (nên vị trí giảm); độ lớn của nó là tốc độ; và nó chính là hệ số góc tiếp tuyến.
Tốc độ trung bình và tốc độ tức thời không hoán đổi được cho nhau. Tốc độ trung bình trên $[a,b]$ có thể bằng không trong khi tốc độ tức thời lại lớn tại mọi điểm bên trong (hãy tưởng tượng việc đi ra ngoài rồi quay trở lại). Chỉ trong giới hạn của một khoảng cách đang thu hẹp thì tốc độ trung bình mới trở thành tốc độ tức thời.
Đối với $f(x)=x^2$, hãy tìm tốc độ trung bình trên $[2,4]$ và ước lượng tốc độ tức thời tại $x=2$.
- Tốc độ trung bình trên $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- Thu hẹp về phía $2$: trên $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; trên $[2,2.01]$, $4.01$.
- Các tốc độ trung bình hội tụ về $4$ — tốc độ tức thời tại $x=2$ là $4$.
Tốc độ thay đổi trung bình trên $[a,b]$ là thương phân hiệu $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — độ dốc của một đường cắt. Khi thu hẹp khoảng cách, đường cắt tiến dần đến đường tiếp tuyến, có độ dốc chính là tốc độ thay đổi tức thời tại điểm đó.