Hàm số, hợp hàm, phép biến đổi và hàm ngược
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | Combining functions by applying one function to the output of another. |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | A function that reverses another function's mapping on a domain where that mapping is one-to-one. |
Order matters
- $f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2$. Is $f(g(3))$ the same as $g(f(3))$? $f(g(3)) = f(9) = 19$, but $g(f(3)) = g(7) = 49$.
- ACT function questions test evaluation, composition 复合函数, transformations and inverses across rules, tables and graphs.
Composition
- $f(g(x))$: do $g$ first, then $f$. Work from the inside out.
- The domain of $f(g(x))$ includes only inputs where $g(x)$ is allowed and $g(x)$ is in the domain of $f$.
If $f(x) = x - 4$ and $g(x) = 3x$, what is $f(g(5))$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$g(5) = 15$, then $f(15) = 11$.
Transformations
- $f(x) + k$: up $k$. $f(x - h)$: right $h$. $-f(x)$: reflect in the $x$-axis. $f(-x)$: reflect in the $y$-axis. $af(x)$: vertical stretch by $a$.
- Track a point: if $(2, 5)$ is on $f$, then $(2, 10)$ is on $2f(x)$ and $(5, 5)$ is on $f(x - 3)$.
A table gives $f(1) = 4$, $f(4) = 9$. Then $f(f(1)) = f(4) = 9$.
Which way does the graph move?
Identify the effect of a function transformation.
The point $(4, -2)$ is on $y = f(x)$. Which point is on $y = -f(x + 1)$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$x + 1$ shifts left 1; the minus reflects $y$.
A table shows $g(2) = 7$ and $g(7) = 1$. What is $g(g(2))$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$g(2) = 7$, then $g(7) = 1$.
Inverses
- To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, swap $x$ and $y$, solve for $y$. For $f(x) = 3x - 6$: $x = 3y - 6$, so $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}$.
- The graph of $f^{-1}$ is the reflection of $f$ in $y = x$; $(a, b)$ on $f$ means $(b, a)$ on $f^{-1}$.
What is the inverse of $f(x) = 2x + 10$?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Swap and solve: $x = 2y + 10$, so $y = \dfrac{x - 10}{2}$.
Traps
- $f^{-1}(x)$ is not $\dfrac{1}{f(x)}$: the $-1$ means inverse function 反函数, not reciprocal.
- Shift direction: $f(x - 3)$ moves right, not left.
$f^{-1}(x)$ undoes $f$, so $f^{-1}(f(x)) = x$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
True. The inverse reverses the function; it is not the reciprocal $\dfrac{1}{f(x)}$.
Recap
- $f(g(x))$: inside first; check the domain through both steps.
- Transformations move points predictably; inverses swap $x$ and $y$ and reflect in $y = x$.