Phóng điện tụ điện
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | xả điện |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | hằng số thời gian |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | suy giảm theo hàm mũ |
Sự suy giảm chưa bao giờ thực sự kết thúc
- Tụ điện đang phóng điện mất 63% điện tích trong hằng số thời gian đầu tiên, sau đó mất 63% phần còn lại trong hằng tiếp theo, và cứ thế mãi mãi.
- Sau năm hằng số thời gian, phần còn lại ít hơn 1%, nhưng đồ thị không bao giờ chạm vào trục hoành (zero). Đồ thị không thể làm được điều đó vì tốc độ suy giảm luôn tỷ lệ thuận với lượng còn lại.
- Mọi đại lượng tuân theo quy luật này, bao gồm cả sự phân rã phóng xạ, đều tạo ra cùng một đường cong, nên việc học thuộc nó sẽ phục vụ cho hai mục đích.
- Bài học này bao gồm các phương trình phóng điện, hằng số thời gian và đồ thị logarit biến đường cong thành đường thẳng.
Nguồn gốc của hàm mũ
- Đóng công tắc và hiệu điện thế của tụ điện sẽ đẩy dòng điện qua điện trở. Định luật Kirchhoff thứ hai cho ta $V_C = V_R$, và kết hợp với $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ và $I = -dQ/dt$:
- Tốc độ suy giảm tỷ lệ thuận với điện tích còn lại. Đó là tính chất định nghĩa của sự suy giảm hàm mũ, và cũng là lý do đường cong flattens (phẳng dần) khi nó giảm.
Trong quá trình phóng điện qua điện trở, điện tích trên tụ điện:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Càng nhiều điện tích, dòng điện càng lớn — tạo ra sự suy giảm theo hàm mũ.
Tại sao sự phóng điện của tụ điện lại theo hàm mũ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Q/C = -R dQ/dt nói lên điều đó một cách chính xác. Mọi đại lượng có đặc tính này, bao gồm cả phân rã phóng xạ, đều tạo ra cùng một đường cong.
Ba phương trình
- Điện tích, hiệu điện thế và dòng điện đều suy giảm cùng nhau, với cùng một hằng số thời gian:
- Dòng điện lớn nhất ngay tại thời điểm đóng công tắc, $I_0 = V_0/R$, vì lúc đó toàn bộ hiệu điện thế ban đầu đặt trên điện trở. Dòng điện giảm dần khi hiệu điện thế giảm.
- Diện tích nằm dưới đồ thị dòng điện - thời gian chính là điện tích đã chảy qua. Cả ba đường cong đều có cùng hình dạng, nên việc đo $\tau$ từ bất kỳ đường nào trong số chúng đều cho ra $RC$.
Dốc ở đầu, sau đó càng phẳng hơn, và không bao giờ thực sự bằng không
Đường cong nạp/xả điện
Điện áp tăng (hoặc suy giảm) theo hàm mũ với hằng số thời gian τ = RC.
Phóng điện tụ điện
Q = Q₀·bᵗ
Điện tích suy giảm theo hàm mũ qua điện trở.
Điện tích trong quá trình phóng điện được cho bởi:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Phóng điện tiến tới về zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (dạng $1 - e^{-t/RC}$ dùng cho sạc).
Hằng số thời gian
- Hằng số thời gian là:
- Đơn vị của nó là giây, vì ohm nhân farad bằng giây.
- Nó là khoảng thời gian để đại lượng suy giảm giảm xuống $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ giá trị ban đầu. Sau $2\tau$ khoảng 13,5% còn lại, và sau $5\tau$ thì dưới 1%.
- Một $R$ lớn hoặc một $C$ lớn đều dẫn đến quá trình phóng điện chậm: giống như một bể chứa lớn đang rỗng đi qua một ống nhỏ.
Một tụ điện $500\ \mu\text{F}$ phóng điện qua điện trở $2000\ \Omega$. Hằng số thời gian là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
Sau một hằng số thời gian, điện tích giảm xuống còn khoảng ____ % so với giá trị ban đầu.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó giảm xuống $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, tức là khoảng 37%.
Sau 5 hằng số thời gian, ít hơn 1% điện tích còn lại.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$e^{-5} \approx 0.0067$, nên dưới 1% còn lại — thực tế là đã phóng điện hoàn toàn.
Một tụ điện được sạc đến 24 V phóng điện qua điện trở 5.6 kilo-ohm. Dòng điện ban đầu là bao nhiêu, tính bằng mA?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ngay tại thời điểm đóng công tắc, toàn bộ hiệu điện thế nằm trên điện trở, nên I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. Sau đó nó suy giảm với cùng hằng số thời gian như điện tích.
Ví dụ minh họa: bài toán phóng điện đầy đủ
- Một tụ điện $470\ \mu\text{F}$ được sạc đến $24\ \text{V}$ và phóng điện qua điện trở $5.6\ \text{k}\Omega$. Tìm hằng số thời gian, dòng điện ban đầu, hiệu điện thế sau $4.0\ \text{s}$, và thời gian để hiệu điện thế giảm xuống $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, và $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- Sau $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- Đối với thời gian, lấy logarit: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Giữ nguyên $\tau$ không làm tròn bên trong phép tính và chỉ làm tròn ở bước cuối cùng. Và lưu ý rằng $\ln(V/V_0)$ mang dấu âm, nên dấu trừ sẽ khiến $t$ trở thành dương: việc sắp xếp lại này là câu hỏi thường gặp nhất và cũng là lỗi hay mắc phải nhất.
Sau một hằng số thời gian, khoảng 37% điện tích ban đầu còn lại trên tụ điện.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó giảm xuống 1/e so với giá trị ban đầu, khoảng 37%. Sau hai lần là khoảng 13.5%, và sau năm lần là dưới 1%, dù nó không bao giờ chạm đến zero hoàn toàn.
Ví dụ minh họa: đọc $\tau$ từ đồ thị
- Hiệu điện thế trên tụ điện $2200\ \mu\text{F}$ giảm từ $6.0\ \text{V}$ xuống $2.2\ \text{V}$ trong thời gian $4.5\ \text{s}$. Tìm điện trở.
- Kiểm tra tỷ lệ trước: $2.2/6.0 = 0.367$, tương đương với $1/e$. Vậy $4.5\ \text{s}$ chính là một hằng số thời gian.
- Sau đó $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- Nếu sự suy giảm không phải về $1/e$, hãy sử dụng $RC = -t/\ln(V/V_0)$ thay thế. Kết quả cuối cùng vẫn giống nhau dù dùng cách nào, nhưng việc nhận ra $1/e$ sẽ tiết kiệm một bước tính toán.
Một tụ điện có hằng số thời gian 2.63 s được sạc đến 24 V. Mất bao lâu, tính bằng giây, để hiệu điện thế giảm xuống còn 6.0 V?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) là số âm, nên dấu trừ làm cho t dương; việc biến đổi này là bước dễ sai sót nhất.
Đồ thị logarit
- Lấy logarit của $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- Vì vậy, đồ thị của $\ln V$ theo $t$ là một đường thẳng với hệ số góc $-1/RC$ và trục tung $\ln V_0$.
- Đây là phương pháp thực nghiệm tiêu chuẩn: nó biến đường cong thành đường thẳng, giúp $RC$ được xác định từ hệ số góc thay vì từ một giá trị đọc đơn lẻ, và bất kỳ sự lệch khỏi đường thẳng nào đều cho thấy sự suy giảm không phải là hàm mũ.
Hiệu điện thế trên tụ điện 2200 µF giảm từ 6.0 V xuống 2.2 V trong 4.5 s. Sắp xếp thứ tự các bước tìm điện trở.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Nếu sự giảm không phải là 1/e, hãy dùng RC = -t/ln(V/V0). Đáp án vẫn giống nhau, nhưng nhận ra 1/e sẽ tiết kiệm một bước tính toán.
Điểm số dễ mất
- $\tau = RC$ là một thời gian, tính bằng giây, không phải là phân số. Sau một $\tau$, đại lượng còn ở mức 37%, chứ không phải 63% đã mất và dừng lại.
- Dòng điện lớn nhất ở thời điểm bắt đầu, khi toàn bộ hiệu điện thế đặt trên điện trở, và nó suy giảm với cùng hằng số thời gian như điện tích.
- Để tìm thời gian, hãy lấy logarit: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Giữ nguyên hằng số thời gian không làm tròn trong suốt quá trình tính toán.
- Trên đồ thị $\ln V$ theo $t$, hệ số góc là $-1/RC$, nên $RC$ là âm của nghịch đảo hệ số góc.
Đồ thị ln V theo t đối với tụ điện đang phóng điện là một đường thẳng. Độ dốc của nó là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lấy logarit của V = V0 exp(-t/RC) ta được ln V = ln V0 - t/RC. Vậy RC là nghịch đảo của độ dốc mang dấu âm, và chính đường thẳng này xác nhận sự suy giảm là hàm mũ.
Bạn đã nắm vững
- tốc độ suy giảm tỷ lệ thuận với điện tích còn lại, nên sự suy giảm là hàm mũ: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, và $V$ và $I$ suy giảm hoàn toàn giống nhau
- dòng điện bắt đầu từ $I_0 = V_0/R$ và diện tích dưới đồ thị dòng điện-thời gian là điện tích đã chảy qua
- hằng số thời gian $\tau = RC$ là thời gian để giảm xuống $1/e \approx 37\%$; sau $5\tau$ thì còn lại ít hơn 1%
- lấy logarit để tìm một thời điểm, $t = -RC\ln(V/V_0)$, và biểu đồ của $\ln V$ theo $t$ sẽ là đường thẳng có độ dốc $-1/RC$