Thế năng hấp dẫn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | vận tốc thoát ly |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | thế năng hấp dẫn |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | vô cực |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | thế năng trọng trường |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | bị ràng buộc chặt chẽ |
Tốc độ thoát ly bao nhiêu?
- Ném quả bóng lên thì nó rơi lại. Ném đủ nhanh thì nó không bao giờ trở về.
- Tốc độ "không bao giờ trở về" đó gọi là tốc độ thoát ly.
- Để tìm nó, ta cần biết thế năng hấp dẫn.
Thế năng hấp dẫn
- $\phi$ là công thực hiện đơn vị khối lượng để đưa một khối thử nhỏ từ vô cực đến một điểm: $\phi = \dfrac{W}{m}$. Đơn vị: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Lấy không tại vô cực, nên $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ luôn âm ở mọi nơi khác.
Thế năng hấp dẫn
V = −GM / r
Thế năng ∝ −1/r — sâu gần khối lượng, dẹt ra theo khoảng cách.
Thế năng hấp dẫn là:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hấp dẫn thực hiện công khi một khối lượng rơi xuống, nên $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ là âm, chỉ đạt 0 ở vô cùng.
Thế năng hấp dẫn được quy ước bằng 0 tại ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Lựa chọn này khiến thế năng luôn âm nơi bất kỳ khối lượng nào tồn tại.
Năng lượng thế hấp dẫn
- Một khối $m$ ở thế năng $\phi$ có $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- Nó mang giá trị âm; các khối càng gần nhau thì càng âm — liên kết chặt chẽ hơn.
Hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm giữ cho hành tinh chuyển động trên quỹ đạo tròn
Hai khối lượng gần nhau hơn có thế năng hấp dẫn âm hơn (thấp hơn).
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — $r$ nhỏ hơn cho giá trị âm hơn, tức là cặp liên kết chặt chẽ hơn.
Nối mỗi thuật ngữ với định nghĩa mà người chấm bài đánh dấu.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hai cái trong số này là trên mỗi đơn vị khối lượng và một cái là trên mỗi đơn vị khối lượng của CÔNG. Từ duy nhất đó là phân biệt thế năng với cường độ trường.
Liên hệ với $mg\Delta h$
- Đối với các thay đổi nhỏ về độ cao gần bề mặt, $r$ hầu như không đổi, nên $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- Đối với các thay đổi lớn (như nâng vệ tinh), hãy dùng $-\dfrac{GMm}{r}$ tại từng bán kính rồi lấy hiệu.
Công thức đơn giản $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ hợp lệ khi:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó giả định một trường đồng nhất. Đối với những thay đổi lớn trong $r$, hãy dùng $-\dfrac{GMm}{r}$ tại mỗi bán径 thay thế.
Tại sao thế năng hấp dẫn luôn âm? Chọn tất cả các đáp án phù hợp.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
"Vì lực hấp dẫn thu hút" một mình thì không phải là đáp án. Điểm cần có lập luận về công: bằng không ở vô cực, và trường thực hiện công trong quá trình di chuyển vào.
Ví dụ minh họa: thế năng tại bề mặt sao Hỏa
Sao Hỏa có khối lượng $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ và bán kính $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Tìm thế năng hấp dẫn tại bề mặt nó, và năng lượng cần thiết để đưa $1\ \text{kg}$ từ bề mặt ra vô cực.
- Thế năng: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Đơn vị yêu cầu: joule trên kilogram, vì thế năng là năng lượng trên đơn vị khối lượng.
- Năng lượng thoát ly trên mỗi kilogram: từ $\phi$ lên đến không tại vô cực là $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ cho mỗi kilogram.
- Kiểm tra: dấu trừ không thể bỏ qua. Nó cho thấy phải thực hiện công lên khối lượng để tách nó ra — khối lượng nằm trong "hố" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ sâu.
Mặt Trăng có khối lượng $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ và bán kính $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. Tiềm năng hấp dẫn tại bề mặt của nó là bao nhiêu, dưới dạng bội số của $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (Bao gồm dấu.)
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — khoảng một phần二十 của Trái Đất, đó là lý do thoát khỏi Mặt Trăng dễ dàng.
Tốc độ thoát ly
- Để đạt tới vô cực, động năng phải cân bằng độ sâu của hố: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ tại bề mặt Trái Đất — không phụ thuộc vào khối lượng vật.
Khoảng vận tốc thoát ly từ bề mặt Trái Đất là bao nhiêu, tính theo km/s?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ cho Trái Đất.
Vận tốc thoát ly phụ thuộc vào khối lượng của vật thể thoát ra.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Khối lượng vật thể triệt tiêu: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ chỉ phụ thuộc vào hành tinh và khoảng cách.
Một hành tinh có GM/r = 6.3e7 J/kg tại bề mặt. Vận tốc thoát của nó là bao nhiêu, tính theo km/s?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, giá trị của Trái Đất. Lưu ý hệ số 2 và khối lượng của vật thể thoát ra triệt tiêu hoàn toàn.
Ví dụ minh họa: nâng một vệ tinh
Một vệ tinh $500\ \text{kg}$ được nâng từ bề mặt Trái Đất ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) lên quỹ đạo bán kính $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Khối lượng Trái Đất là $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Tìm độ tăng thế năng và so sánh nó với $mg\Delta h$.
- Hai thế năng, lấy hiệu: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Thay số: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- Cách ước lượng: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — khoảng $10\%$ quá cao, vì $g$ giảm dần theo độ cao còn $mg\Delta h$ giả định nó không đổi.
- Kiểm tra: độ tăng mang giá trị dương — vệ tinh kết thúc ở mức âm ít hơn, liên kết lỏng hơn — mặc dù cả hai thế năng đều là số âm.
Thế năng mang giá trị âm và tăng tiến về không khi bạn di chuyển ra xa. "Năng lượng thu được" là cuối trừ đầu giữ nguyên dấu: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ là mức tăng $0.4 \times 10^{7}$ trên mỗi kilogram. $mg\Delta h$ chỉ áp dụng cho $\Delta h \ll R$. Và đơn vị của $\phi$ là $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — viết joule sẽ bị mất điểm.
Những phát biểu nào sau đây về tiềm năng hấp dẫn là đúng? Chọn tất cả các đáp án áp dụng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tiềm năng là năng lượng trên mỗi đơn vị khối lượng, nên đơn vị là joule trên kilogram. Nó mang dấu âm, tăng tiến tới zero theo khoảng cách, và đạo hàm của nó cho cường độ trường: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
Cường độ trường từ đồ thị thế năng
- Cường độ trường là hệ số góc của đồ thị thế năng – khoảng cách: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Nơi đồ thị $\phi$ dốc (gần khối lượng) thì trường mạnh; ở xa đồ thị dẹt xuống và trường yếu dần.
- Dấu trừ cho thấy trường hướng xuống dốc thế năng — về phía khối lượng, nơi $\phi$ có giá trị âm nhất.
Bạn đã nắm vững
- Thế năng hấp dẫn $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ trong $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (âm, bằng 0 ở vô cực); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- thế năng hấp dẫn $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — càng âm nhiều = liên kết chặt chẽ hơn; các thay đổi lớn sử dụng $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- Vận tốc thoát ly $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (không phụ thuộc vào khối lượng, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ đối với Trái Đất)