Trường hấp dẫn của chất điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | quỹ đạo |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | vận tốc quỹ đạo |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | tinh vân |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | định luật thứ ba của Kepler |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | đồng bộ địa tĩnh |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | xích đạo |
| free fall/friː fɔːl/ | Chuyển động rơi tự do |
Tại sao Mặt Trăng không rơi xuống
- Mặt Trăng luôn rơi hướng về phía Trái Đất — nhưng nó cũng chuyển động ngang với vận tốc rất nhanh.
- Vì vậy nó liên tục miss (bỏ qua): nó đang ở trong quỹ đạo.
- Trọng lực cung cấp đúng lực hướng tâm cần thiết.
Trường của một chất điểm
- Tại khoảng cách $r$ từ một khối lượng $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — giảm theo $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Gần bề mặt Trái Đất $r \approx R$ rất lớn, nên leo lên một tòa nhà hầu như không làm thay đổi $g$.
Cường độ trường giảm theo 1/r²: gấp đôi khoảng cách thì lực hút giảm còn một phần tư
Khoảng cách giữa các đường trường thể hiện cường độ trường — đường càng sát nhau thì trường càng mạnh
Trường của chất điểm
g ∝ M/r²
Cường độ trường hấp dẫn tuân theo định luật nghịch bình phương — nếu khoảng cách giảm đi một nửa thì cường độ tăng lên bốn lần.
Cường độ trường hấp dẫn tại khoảng cách $r$ từ chất điểm $M$ là:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Từ $g = \dfrac{F}{m}$ với $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, khối lượng thử nghiệm bị triệt tiêu: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Leo lên tòa nhà cao tầng làm thay đổi giá trị g một cách lớn.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Bán kính Trái Đất ~6400 km, nên vài mét độ cao hầu như không thay đổi $r$ — $g$ thực chất là hằng số.
Vận tốc quỹ đạo
- Trọng lực = lực hướng tâm: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- Khối lượng $m$ triệt tiêu: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — độc lập với khối lượng của vệ tinh nhân tạo.
Vận tốc quỹ đạo của vệ tinh không phụ thuộc vào khối lượng của chính nó.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Khối lượng $m$ bị triệt tiêu trong $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, để lại $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
Định luật Kepler thứ ba
- Từ $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, suy ra $T^{2} \propto r^{3}$.
- Đồ thị $T^{2}$ theo $r^{3}$ là một đường thẳng — hệ số góc của nó cho biết khối lượng trung tâm.
Vẽ T² theo r³ tạo ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ — hệ số góc xác định khối lượng trung tâm M
Định luật Kepler thứ ba (đối với quỹ đạo tròn) nêu rằng:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, nên bình phương chu kỳ tỷ lệ thuận với lập phương bán kính.
Nếu bán kính quỹ đạo tăng gấp 4 lần, chu kỳ tăng gấp:
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$T \propto r^{3/2}$, nên $T$ tỷ lệ theo $4^{3/2} = 8$.
Ví dụ minh họa: vệ tinh trên sao Hỏa
Một vệ tinh quay quanh sao Hỏa (khối lượng $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, bán kính $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) ở độ cao $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ so với bề mặt. Tính tốc độ và chu kỳ của nó.
- Bán quỹ đạo, từ tâm: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Tốc độ: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Chu kỳ: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, khoảng ba giờ.
- Kiểm tra: chính khối lượng của vệ tinh không bao giờ xuất hiện — mọi vệ tinh ở độ cao này đều di chuyển với tốc độ đó. Nếu chỉ dùng độ cao để tính $r$ thì sẽ thu được tốc độ cao hơn nhiều so với thực tế.
Một vệ tinh quay quanh Trái Đất (khối lượng $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) ở bán径 $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ từ tâm. Vận tốc quỹ đạo của nó là bao nhiêu, tính bằng km/s?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
Quỹ đạo địa tĩnh
- Chu kỳ 24 giờ, nằm trực tiếp phía trên xích đạo, quay từ tây sang đông — cùng chiều với sự tự quay của Trái Đất.
- Nó cố định trên một điểm nhất định — lý tưởng cho anten truyền hình. Từ $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ với $T = 86\,400\ \text{s}$, bán kính là $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, cách bề mặt khoảng $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$.
Chọn tất cả các đặc điểm của vệ tinh địa tĩnh.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó khớp với sự quay của Trái Đất (24h, từ tây sang đông) phía trên xích đạo, nên giữ nguyên cố định trên một điểm. Quỹ đạo cực thì không.
Quỹ đạo đồng bộ ở các hành tinh khác
- Mỗi hành tinh đều có quỹ đạo đồng bộ riêng: chu kỳ bằng thời gian tự quay của hành tinh đó, và quỹ đạo nằm trên xích đạo, di chuyển cùng chiều quay.
- Sao Hỏa tự quay một vòng trong khoảng $25$ giờ, nên một vệ tinh có chu kỳ $25$-giờ phía trên xích đạo của nó sẽ luôn nằm trên một điểm cố định của sao Hỏa.
- Thay đổi chu kỳ thì bán kính cũng thay đổi theo định luật Kepler: chu kỳ dài hơn có nghĩa là quỹ đạo lớn hơn.
Trong mọi công thức quỹ đạo, $r$ được đo từ tâm hành tinh — cộng thêm bán kính hành tinh vào độ cao. Khối lượng vệ tinh bị triệt tiêu, vì vậy câu nói "vệ tinh nặng hơn phải di chuyển nhanh hơn" là sai. Một quỹ đạo địa tĩnh phải nằm trên xích đạo: bất kỳ quỹ đạo nào khác đều cắt xích đạo hai lần mỗi ngày và bị dịch chuyển lên xuống khi quan sát từ mặt đất.
Một vệ tinh ở $600\ \text{km}$ trên bề mặt của một hành tinh có bán径 $6400\ \text{km}$. Trong các phương trình quỹ đạo, $r$ = ____ km.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$r$ được đo từ tâm: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
Không mất trọng lượng — đang rơi tự do
- Ở độ cao Trạm Vũ trụ là $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — gần bằng giá trị tại bề mặt.
- Các phi hành gia trôi nổi vì họ và trạm đều đang trong trạng thái rơi tự do chung, chứ không phải vì lực hấp dẫn đã biến mất.
Bán径 Trái Đất là $6370\ \text{km}$ và cường độ trường bề mặt là $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Cường độ trường ở độ cao $400\ \text{km}$ là bao nhiêu, tính bằng N/kg?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, nên $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — các phi hành gia không mất trọng lượng, họ đang rơi tự do.
Bạn đã nắm vững
- Trường của một khối điểm: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (nên $g$ gần như không đổi gần bề mặt)
- quỹ đạo: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ với $r$ đo từ tâm (không phụ thuộc vào khối lượng vệ tinh); $T^{2} \propto r^{3}$
- địa tĩnh: 24 giờ, trên xích đạo, tây sang đông; quỹ đạo đồng bộ khớp với sự tự quay của bất kỳ hành tinh nào