Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | định luật vạn vật hấp dẫn |
| attractive/əˈtræktɪv/ | hấp dẫn |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | hằng số vạn vật |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | định luật nghịch bình phương |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | chất điểm |
Mọi khối lượng đều hút mọi thứ khác
- Trái Đất hút bạn xuống dưới — và bạn cũng hút Trái Đất lên trên, với độ mạnh như nhau.
- Mọi cặp khối lượng đều hút nhau, ở bất cứ đâu trong vũ trụ.
- Newton đã tóm gọn nó trong một phương trình.
Định luật vạn vật hấp dẫn
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — một lực hút dọc theo đường nối các khối lượng.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ là hằng số vạn vật hấp dẫn.
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton
F ∝ Mm / r²
Lực hấp dẫn kéo vào trong và giảm theo bình phương khoảng cách.
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton cho ta biết lực tương tác giữa hai khối lượng là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lực kéo tỷ lệ thuận với từng khối lượng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.
Hấp dẫn luôn là lực hút.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Có — các khối lượng chỉ luôn hút lẫn nhau; không có sự đẩy hút nào trong hấp dẫn.
Định luật nghịch bình phương
- Lực giảm theo $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Gấp đôi khoảng cách → lực giảm còn một phần tư.
Trạm Vũ trụ Quốc tế quỹ đạo quanh Trái Đất, bị giữ trên quỹ đạo bởi trọng lực
Hai khối lượng hút nhau với lực $40\ \text{N}$ tại khoảng cách $r$. Lực tác dụng tại khoảng cách $2r$ là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tỷ lệ nghịch bình phương: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
Nếu cả hai khối lượng đều gấp đôi (khoảng cách không đổi), lực hấp dẫn trở thành:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$F \propto m_1 m_2$, vì vậy gấp đôi mỗi khối lượng sẽ nhân lực lên $2 \times 2 = 4$ lần.
Hai khối lượng hút nhau với lực $F$. Ghép mỗi thay đổi với lực mới.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: khối lượng tỷ lệ trực tiếp với lực, khoảng cách tỷ lệ theo nghịch bình phương.
Các hình cầu hoạt động như các chất điểm
- Một hình cầu đồng nhất sẽ hút (từ bên ngoài) y hệt như một chất điểm đặt tại tâm của nó.
- Vì vậy bạn có thể coi Trái Đất là một chất điểm đặt tại tâm, và $r$ luôn được đo tâm đến tâm.
Hai khối lượng hút nhau dọc theo đường nối chúng
Một quả cầu đồng nhất thu hút các vật bên ngoài như thể toàn bộ khối lượng nằm ở tâm.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Có — từ bên ngoài, một quả cầu đồng nhất hoạt động y hệt như một chất điểm tại tâm.
Ví dụ giải: Trái Đất và Mặt Trăng
Khối lượng của Trái Đất là $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, của Mặt Trăng là $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, và tâm của chúng cách nhau $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$.
- Lực: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Tác dụng lên vật thể nào? Lên cả hai: Mặt Trăng hút Trái Đất với cùng một $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — đây là một cặp lực theo định luật III Newton.
- Giảm một nửa khoảng cách: lực sẽ trở thành $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Kiểm tra: vuông hóa khoảng cách trước khi chia, và giữ nguyên đơn vị mét. Kết quả gần $10^{28}\ \text{N}$ cho thấy $r$ chưa được vuông hóa.
Hai $50\ \text{kg}$ người đứng cách nhau $1.0\ \text{m}$ giữa các tâm. Lực hấp dẫn giữa họ là bao nhiêu, theo bội số của $10^{-7}\ \text{N}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — nhỏ hơn trọng lượng của hạt bụi, đó là lý do $G$ được gọi là rất nhỏ.
Cân nặng một hành tinh
- Bạn không thể đặt một hành tinh lên cân, nhưng trường bề mặt của nó sẽ cho biết khối lượng: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, suy ra $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- Quỹ đạo của vệ tinh tự nhiên cũng áp dụng được: trọng lực cung cấp lực hướng tâm, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, suy ra $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — chỉ cần biết bán kính và chu kỳ quỹ đạo.
Ví dụ giải: Khối lượng của Sao Hỏa
Tại bề mặt Sao Hỏa, cường độ trường là $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ và bán kính là $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Chứng minh rằng khối lượng của Sao Hỏa xấp xỉ $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Bắt đầu từ trường của một hình cầu: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Biến đổi: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Kết quả: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, đúng như yêu cầu — xấp xỉ một phần mười khối lượng Trái Đất.
- Kiểm tra: bài "chứng minh rằng" chấm điểm dựa vào lời giải, nên hãy viết phương trình, bước biến đổi và thay số, để kết quả tự xuất hiện.
Một hành tinh có cường độ trường bề mặt $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ và bán kính $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. Khối lượng của nó là bao nhiêu, theo bội số của $10^{27}\ \text{kg}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — gần bằng Jupiter.
$r$ là khoảng cách giữa các tâm — không bao giờ là khoảng trống giữa các bề mặt, và cũng không phải là độ cao tính từ mặt đất. $G$ rất nhỏ, đó là lý do lực hấp dẫn giữa các vật thể thông thường là không đáng kể; chỉ có khối lượng lớn bằng kích thước hành tinh mới khiến nó dễ nhận thấy. Và hai lực trong cặp luôn bằng nhau, dù khối lượng có khác biệt thế nào — quả táo hút Trái Đất mạnh bằng chính lúc Trái Đất hút quả táo.
Trong $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, khoảng cách $r$ được đo giữa ____ của hai vật thể.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một quả cầu đồng nhất hoạt động như chất điểm tại tâm, nên đối với vệ tinh $r$ là bán kính hành tinh cộng thêm độ cao trên bề mặt.
Bạn đã nắm vững
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — luôn là lực hút, dọc theo đường nối, bằng nhau trên cả hai khối lượng
- đây là quy luật ngược bình phương: gấp đôi $r$ → giảm đi bốn lần lực
- một hình cầu đồng nhất hoạt động như một chất điểm tại tâm, nên $r$ là tâm đến tâm; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ dùng để tìm khối lượng hành tinh