Cơ khí kỹ thuật — Tĩnh học

Đây là môn học đầu tiên trong Kỹ thuật Cơ khí Đại học: cơ học tĩnh — cơ học của các vật thể cân bằng. Mọi hoạt động của máy móc, cầu hoặc tòa nhà đều bắt đầu từ đây, và công cụ cốt lõi duy nhất của môn học là sơ đồ vật thể tự do. sơ đồ**.

• Đơn vị 1.1 và 1.2 xây dựng vốn từ vựng: vectơ, lực và sự nghiêm ngặt phân tách vật thể trước khi tính toán bất cứ điều gì.
• Đơn vị 1.3 đến 1.5 giải bài cân bằng: hạt chất điểm trước, sau đó là mô-men và vật cứng.
• Các đơn vị 1.6 đến 1.8 áp dụng ba phương trình tương tự cho kết cấu, ma sát và tải trọng phân bố.

Cách đọc từng đơn vị: một câu chuyện ngắn giải thích lý do nó quan trọng; hình ảnh đi trước mọi công thức; sau đó là các định nghĩa chính xác; tiếp theo là các ví dụ có lời giải ngày càng khó hơn, mỗi ví dụ đều có một phép kiểm chứng được tính bằng cách thứ hai; sau đó là những sai lầm thực tế mà người học hay mắc phải; rồi đến bản tóm tắt ba dòng. Thói quen quyết định sự thành công: hãy vẽ sơ đồ vật thể tự do đầy đủ trước, với mọi lực và mọi phản lực, và kiểm tra lại trước khi viết phương trình. Một phản lực bị thiếu sẽ vô hình trong đại số — nó chỉ tạo ra một kết quả sai nhưng mang vẻ chắc chắn. phản lực để đưa ra câu trả lời sai tự tin.

Hai sợi dây kéo một thùng hàng: một hướng đông với lực 30 N, một hướng bắc với lực 40 N. Một lực duy nhất nào sẽ thay thế chúng? Trả lời câu hỏi đó — kết hợp và phân tách các lực đẩy — chính là nội dung đơn vị 1.1 trình bày chính xác tuyệt đối.

Một lực là một lực đẩy hoặc kéo có độ lớn, hướng và một đường tác dụng. Lực là vectơ: chúng cộng nối đuôi-nối đầu, và phân rã thành các thành phần dọc theo bất kỳ trục tọa độ tiện lợi nào. Các phương trình phân rã, với $\theta$ đo từ trục $x$:

Lực hợp của nhiều lực là tổng vectơ của chúng: cộng các thành phần lại, sau đó tái tạo lại độ lớn $R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$ và phương hướng $\theta_R = \tan^{-1}(\Sigma F_y / \Sigma F_x)$. Một lực có thể dịch chuyển dọc theo giá của nó, không làm thay đổi tác dụng lên vật rắn — nhưng tuyệt đối không được dịch chuyển ngang ra khỏi giá đó. Các lực trong SI được đo bằng newton (N); 1 N gây gia tốc cho 1 kg 1 m/s². Trọng lượng là một loại lực: $W = mg$, với $g = 9.81 \text{ m/s}^2$, do đó khối 50 kg có trọng lượng 490.5 N.

Ví dụ minh họa 1 (phân rã và kiểm tra). Một lực 100 N tác dụng ở góc 30° phía trên mặt phẳng nằm ngang: $F_{x} = 100\cos 30^{\circ} = 86.6$ N và $F_{y} = 100\sin 30^{\circ} = 50$ N. Kiểm tra: $\sqrt{86.6^{2} + 50^{2}} = 100$ N — các thành phần luôn tái tạo lại được vector gốc, điều này có thể kiểm chứng theo cả hai chiều.

Ví dụ đã giải 2 (ba lực, nâng cao). Một trụ neo bị kéo bởi ba sợi dây: 200 N về phía đông, 150 N về phía bắc, 100 N về phía tây. Trước hết hãy cộng các thành phần: $\Sigma F_x = 200 - 100 = 100$ N và $\Sigma F_y = 150$ N, nên $R = \sqrt{100^{2} + 150^{2}} = 180.3$ N ở góc $\theta_R = \tan^{-1}(150/100) = 56.3°$ phía trên hướng đông. Phần kiểm tra bằng hình học: 100 và 150 là hai cạnh góc vuông của hình chữ nhật, và 180.3 là đường chéo của nó — cùng một hình ảnh như ví dụ 1, nhưng thực hiện theo thứ tự ngược lại. Quy trình tính toán thành phần trước này thay thế hoàn toàn việc vẽ nối đầu nối đuôi. không thể bị rối.

Lỗi thường gặp. Nhầm lẫn gốc góc (từ trục $x$ hay từ đường trục của riêng nó) — luôn nêu rõ. Sử dụng $\cos$ cho cả hai thành phần vì tam giác "giống như" bài toán cosin: $F_x$ lấy cosin của góc từ trục $x$, $F_y$ lấy sin, mọi lúc. Báo cáo độ lớn mà không có hướng — một Tóm tắt: các lực là vectơ có độ lớn, phương hướng và đường tác dụng; phân tích theo

Tóm lại: lực là vector có độ lớn, hướng và đường tác dụng; phân giải bằng $\cos$/$\sin$, combine by summing components, and check by rebuilding the original; di chuyển lực dọc theo đường tác dụng tự do, không bao giờ di chuyển ngang qua.

sách — cho đến khi bạn cắt điểm tiếp xúc và vẽ những gì nó truyền tải. Vết cắt đó, và sự kỷ luật xung quanh nó, chính là sơ đồ vật thể tự do: công cụ duy nhất của khóa học mà mọi đơn vị sau này đều sử dụng. Sơ đồ vật thể tự do tách biệt một vật, vẽ tất cả các lực bên ngoài tác động lên nó,

và không có gì khác. Nó là một vết cắt cố ý qua các điểm tựa, khớp nối và tiếp xúc, với mỗi vết cắt được thay thế bằng bất cứ thứ gì mà nó truyền tải. với mỗi mặt cắt được thay thế bằng bất cứ thứ gì nó truyền tải.

• Tải trọng tác dụng: trọng lực, dây cáp, tiếp xúc, áp suất chất lưu — kèm theo phương và điểm đặt lực.
• Phản lực: mỗi gối đỡ tác dụng ngược lại một lực. Trọng lượng tác dụng tại tâm trọng lực.
• Lực nội không bao giờ xuất hiện: nếu bạn không cắt qua thanh, lực của nó không nằm trên sơ đồ này.

Kiểm tra: đếm các đại lượng chưa biết, đếm số phương trình độc lập (hai cho chất điểm trong 2D, ba cho vật cứng), và xác định xem vật có xác định tĩnh học — giải được chỉ bằng cân bằng hay không.

Ví dụ minh họa 1 (vòng đèn). Một chiếc đèn treo bởi hai dây cáp ở 30° và 45° so với phương ngang. SĐTĐ của vòng là một điểm với ba lực: trọng lượng 200 N hướng xuống dưới và hai lực căng chưa biết dọc theo các dây cáp. Chưa có điều gì được tính toán — sơ đồ LÀ sản phẩm đầu ra của bước này, và đơn vị 1.3 giúp giải quyết vấn đề.

Ví dụ minh họa 2 (kiểm tra dầm, nâng cấp). Một dầm dài 6 m đặt trên khớp cố định tại A và phương trình vật cứng — xác định, có thể giải được. Bây giờ hãy kiểm tra các chế độ hư hỏng: bỏ sót thành phần ngang của khớp nối và phép đếm trông dễ dàng hơn nhưng dầm vẫn không giải được; thành phần ($A_x$, $A_y$) và thành phần đơn của con lăn ($B_y$): ba ẩn số so với ba thành phần ngang của chốt và phép đếm sẽ dễ chịu hơn nhưng dầm vẫn chưa giải được; thêm một đầu cố định thứ hai và phép đếm tăng lên sáu so với ba — không xác định, và "cả hai đều tăng" — tăng nghĩa là theo trục y; các thành phần x ngược chiều nhau. Giải bằng tỷ lệ không lượng đại số nào có thể thu hẹp khoảng cách (đơn vị 1.5 sẽ quay lại vấn đề này).

Lỗi thường gặp. Vẽ các lực mà cơ thể không cảm nhận được (tải trọng lên bên khác của mặt cắt). Quên một phản lực vì "mặt đỡ trông cứng" — chính độ cứng là lý do nó đẩy ngược lại. Vẽ lực nội tại trong thành phần trên toàn bộ cấu trúc thay vì cắt qua chúng.

Tóm tắt: cắt, thay thế và chỉ vẽ những gì cơ thể bị tách rời cảm nhận; tải trọng có hướng và điểm đặt; việc kiểm tra (các ẩn số so với phương trình) diễn ra trước bất kỳ phép tính đại số nào.

Vòng đèn từ 1.2 treo im lặng. Ba lực hội tụ tại đó — điều gì phải đúng về chúng? Cân bằng chất điểm là câu trả lời, và nó chỉ gồm hai phương trình.

Một chất điểm là vật thể mà kích thước không quan trọng — tất cả các lực đều tác dụng tại một điểm. Cân bằng trong 2D gồm hai phương trình:

Mọi lực phải được phân tích trước (đơn vị 1.1); sau đó các phương trình áp dụng từng thành phần. Chọn trục dọc theo và vuông góc với ẩn số bạn muốn tránh: mỗi phương trình khi đó giải trực tiếp một ẩn số. Khi ba lực cân bằng, chúng phải đồng quy — đường tác dụng của chúng đi qua một điểm — hoặc song song; thực tế hình học này giải quyết nhiều bài toán mà không cần tính toán số học.

Ví dụ minh họa 1 (biểu ngữ đối xứng). Một biểu ngữ nặng 400 N treo trên hai dây cáp đối xứng góc 30° so với phương ngang. Do tính đối xứng, mỗi dây cáp chịu cùng một lực căng $T$; theo phương dọc, $2T\sin 30^{\circ} = 400$, nên $T = 400$ N. Theo phương ngang các thành phần triệt tiêu nhau do đối xứng — và nếu không, đó chính là phép kiểm tra để phát hiện một sai sót. Lưu ý cách dây cáp dốc hơn (góc lớn hơn) cần ít lực căng hơn: thành phần dọc thực hiện việc nâng đỡ.

Ví dụ minh họa 2 (đèn không đối xứng, đã giải, mở rộng). Đèn 200 N có đơn vị 1.2: dây cáp 1 ở góc 30°, dây cáp 2 ở góc 45°. Các phương trình, với thành phần x của $T_1$ chỉ hướng sang trái và thành phần x của $T_2$ chỉ hướng sang phải:

Thay thế $T_1 = T_2\cos 45^{\circ}/\cos 30^{\circ} = 0.816\,T_2$ vào phương trình dọc: $T_2(0.408 + 0.707) = 200$, nên $T_2 = 179.3$ N và $T_1 = 146.4$ N. Kiểm tra: $146.4\sin 30^{\circ} + 179.3\sin 45^{\circ} = 73.2 + 126.8 = 200$ N chính xác. Sự mở rộng cần lưu ý: tính đối xứng đã biến mất, nhưng bộ máy hai phương trình vẫn hoạt động — và dây cáp dốc hơn 45° chịu tải nhiều hơn, đúng như ví dụ 1 đã dự đoán.

Lỗi thường gặp. Gán cùng dấu cho cả hai thành phần x vì cả hai dây đều "đi lên" — đi lên là trục y; các thành phần x ngược chiều nhau. Giải bằng tỷ lệ "cùng hướng lên" — lên là trục y; các thành phần x ngược chiều. Giải bằng tỷ lệ ($T$ phân tách giống như các góc) — lực căng tuân theo sin, không phải kích thước góc. Bỏ qua giả sử sẵn có. Tóm tắt: hai phương trình thành phần; chọn hệ trục tọa độ để cô lập các đại lượng chưa biết; ba lực trong trạng thái cân bằng đồng quy; hãy kiểm chứng đối xứng thay vì giả định nó.

Tóm tắt: hai phương trình thành phần; chọn trục tọa độ để cô lập các đại lượng chưa biết; ba lực trong cân bằng đồng quy; kiểm tra tính đối xứng thay vì giả định.

Tại sao một chiếc cờ lê dài có thể nới một ốc vít mà chiếc cờ lê ngắn không làm được? Cùng một lực đẩy, nhưng với cánh tay đòn dài hơn — hiệu ứng quay tăng lên theo khoảng cách. Hiệu ứng này cần có đơn vị đo lường và phương trình riêng.

Mô-men là hiệu ứng quay của lực quanh một điểm: $M = F\cdot d$, trong đó $d$ là tay đòn mô-men — khoảng vuông góc từ điểm đến đường tác dụng của lực. Mô-men có đơn vị N·m và mang dấu: quy ước thông thường là chiều ngược kim đồng hồ là dương. quy ước thường thấy là chiều ngược kim đồng hồ mang giá trị dương.

Cặp lực là hai lực bằng nhau, ngược hướng và song song. Mô-men của cặp lực

Một cặp lực là hai lực có độ lớn bằng nhau, ngược chiều và song song. Mô-men của nó điểm — một cặp lực không có lực hợp, chỉ có hiệu ứng quay thuần túy. Phương trình cân bằng thứ ba là $M = F\cdot d$ quanh bất kỳ điểm thuận tiện nào, và điểm đó có thể được chọn trên đường tác dụng của một lực chưa biết để loại bỏ nó. phương trình cân bằng là $\Sigma M_O = 0$ quanh bất kỳ điểm thuận tiện nào, và điểm đó có thể được chọn trên đường tác dụng của một lực chưa biết để loại bỏ lực đó.

Suy luận tại sao cặp lực độc lập với điểm tham chiếu. Lấy mô-men của cặp lực quanh bất kỳ điểm $O$ ở khoảng cách $a$ từ đường tác dụng của lực đầu tiên: $M_O = F(a + d) - F(a) = F d$ — $a$ triệt tiêu. Một lực tăng, lực kia giảm, đúng bằng nhau. Sự triệt tiêu này chính là định nghĩa của "chuyển động thuần túy".

Ví dụ minh họa 1 (cặp lực so với lực đơn). Hai lực 150 N tạo thành một cặp lực với khoảng cách giữa các đường tác dụng là 0.8 m: $M = 150 \times 0.8 = 120$ N·m, giống hệt nhau quanh mọi điểm trong mặt phẳng. Một lực 240 N đơn lẻ với cánh tay đòn 0.5 m cũng tạo ra 120 N·m xung quanh điểm đó — nhưng chỉ xung quanh điểm đó; di chuyển điểm tham chiếu và mô-men thay đổi. Sự tương phản này — cặp lực không đổi, mô-men lực đơn phụ thuộc vào điểm tham chiếu — chính là ý tưởng cốt lõi.

Ví dụ minh họa 2 (kết hợp chúng, nâng cao). Một càng đỡ chịu lực hướng xuống 300 N có đường tác dụng đi qua 0.4 m về phía bên phải của bu-lông $O$, cộng thêm một cặp lực cùng chiều chiều kim đồng hồ có độ lớn 60 N·m. Xung quanh $O$: lực tạo ra $300 \times 0.4 = 120$ N·m chiều kim đồng hồ, cặp lực tạo ra 60 N·m chiều kim đồng hồ, tổng cộng 180 N·m chiều kim đồng hồ — và xung quanh bất kỳ điểm khác nào đó, phần do lực tạo ra sẽ thay đổi trong khi 60 N·m thì không bao giờ đổi. Nếu giá đỡ ở trạng thái cân bằng, bu-lông và đối thủ của nó phải cung cấp 180 N·m mô-men ngược chiều chiều kim đồng hồ giữa chúng; tính độc lập với điểm tham chiếu cho phép bạn chọn mô-men xung quanh bu-lông nào thuận tiện nhất cho việc giải phương trình.

Những sai lầm thường gặp. Sử dụng khoảng cách đến điểm tác dụng của lực thay vì khoảng cách vuông góc đến đường tác dụng của nó. Bỏ qua cặp lực khỏi tổng mô-men "vì nó không có lực" — một cặp lực xuất hiện trong MỌI phương trình mô-men, đầy đủ. tổng "vì nó không có lực" — một cặp lực xuất hiện trong MỌI phương trình mô-men, đầy đủ. Quên rằng mô-men có dấu: trộn lẫn các độ lớn chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ trong một tổng duy nhất.

Tóm tắt: $M = Fd$ xung quanh một điểm đã chọn với cánh tay đòn vuông góc; các cặp lực là sự quay thuần túy, không đổi xung quanh mọi điểm; hãy chọn điểm mô-men để triệt tiêu các đại lượng chưa biết.

Một dầm cầu đặt trên một đầu bu-lông cố định và một đầu trượt — tại sao lại dùng một bu-lông chứ không hai? Vì nhiệm vụ của các gối đỡ là cung cấp đúng số ẩn mà ba phương trình có thể giải quyết: đơn vị này gộp lực và mô-men thành phương pháp vật rắn đầy đủ. có thể tiêu thụ: đơn vị này tổng hợp các lực và mô-men vào phương pháp vật rắn hoàn chỉnh.

Một vật rắn trong hệ 2D cho ra ba phương trình: $\Sigma F_{x} = 0$, $\Sigma F_{y} = 0$, $\Sigma M = 0$. Các gối tựa cung cấp phản lực, và mỗi loại gối tựa ràng buộc một đặc tính cụ thể chuyển động:

• Bản hinge: hai thành phần phản lực, theo bất kỳ hướng nào.
• Gối cố định: hai thành phần lực và một mô-men.
• Gối cố định: hai thành phần lực và một mô-men.

Ví dụ minh họa 1 (dầm đơn giản). Một dầm dài 6 m đặt trên bản hinge tại A và con lăn tại B tải trọng tập trung 12 kN cách A 2 m. Mô-men quanh A: $R_{B} \times 6 = 12 \times 2$, nên $R_{B} = 4$ kN; theo phương đứng $R_{A} = 12 - 4 = 8$ kN. Kiểm tra bằng mô-men quanh B: $R_{A} \times 6 = 8 \times 6 = 48 = 12 \times 4$ ✓ — là phương trình chưa được sử dụng để tính ra các kết quả.

Ví dụ minh họa 2 (cần nhô ra, nâng cao). Dầm giống hệt như vậy, nhưng con lăn di chuyển đến 4 m từ A và tải trọng 10 kN treo ở đầu nhô dài 6 m. Mô-men quanh A: $R_{B} \times 4 = 10 \times 6$, nên $R_{B} = 15$ kN — lớn hơn tải trọng, bởi vì nó có lợi thế về cánh tay đòn. Theo phương thẳng đứng $R_{A} = 10 - 15 = -5$ kN: bu lông kéo xuống với lực 5 kN. Kiểm tra bằng mô-men quanh B: $R_{A} \times 4 + 10 \times 2 = -20 + 20 = 0$ ✓. Kết quả âm không phải lỗi — đó là dầm báo cho bạn biết phải có lực giữ, và đó là lý do tại sao các phần nhô ra thực tế được bắt vít, chứ không chỉ đặt lên.

Thanh hai lực chịu hai lực bằng nhau, ngược chiều dọc theo đường nối hai điểm gắn của nó — không có tải trọng nào khác. Nhận diện chúng biến các cấu trúc phức tạp thành những cấu trúc dễ giải quyết. Mỗi lần kiểm tra ở đây đều tính lại đáp án thông qua một phương trình chưa từng được sử dụng để tìm ra kết quả đó.

Những sai lầm thường gặp. Giả định mọi phản lực thẳng đứng đều hướng lên — đối với phần nhô ra và tải trọng lệch tâm thì chúng sẽ đảo chiều. Tính mô-men quanh nhiều điểm nhưng dùng sai cánh tay đòn của cùng một ẩn số hai lần: hãy vẽ khoảng cách lên sơ đồ vật thể tự do (FBD) trước khi cộng tổng. Gọi hệ bất định là "giải được nếu cố gắng hơn": 6 ẩn số so với 3 phương trình là sự thật, không phải thử thách.

Tóm tắt: ba phương trình, giá trị của gối đỡ phụ thuộc vào những gì chúng ngăn chặn (1, 2, hoặc 2+M ẩn số); chọn điểm tính mô-men để triệt tiêu một ẩn số; phản lực âm mang ý nghĩa thông tin; thanh hai lực là món quà. thông tin; các thanh chịu lực kép là điều may mắn.

Cầu đường sắt mang đoàn tàu đi qua hàng trăm thanh mảnh, không có thanh nào bị uốn cong. Bí quyết nằm ở tam giác: các tam giác nối bằng bản hinge chịu tải trọng theo trục, và lực dọc trục. Phương pháp cắt tiết diện: cắt ngang qua ba thanh, lấy một phần làm sơ đồ vật thể tự do (FBD), và giải ba phương trình — lý tưởng cho việc tìm lực trong một thanh nằm sâu bên trong giàn thép dài. có nghĩa là hai lực — có thể giải được — đơn vị này là kết quả của tất cả những gì đã trình bày trước đó.

Một khung giàn là cấu trúc gồm các thanh chịu hai lực thẳng, nối với nhau tại các khớp không ma sát chỉ chịu tải trọng tại các khớp. Các thanh chịu thuần túy kéo hoặc nén dọc theo trục của chúng.

Phương pháp khớp: tại mỗi khớp, hai phương trình lực giải được hai lực chưa biết trong thanh. Phương pháp cắt: cắt qua ba thanh, lấy một phần làm sơ đồ vật thể tự do (FBD), và giải ba phương trình — lý tưởng cho việc tìm lực trong một thanh nằm sâu bên trong khung giàn dài. lực. Phương pháp mặt cắt: cắt qua ba thanh, lấy một mảnh làm SFL, và giải ba phương trình — lý tưởng cho một thanh nằm sâu bên trong dàn dài. Các thành phần không chịu lực mang lực dọc trục bằng không dưới tải trọng đã chỉ định. Tại một khớp không có tải trọng ngoài hoặc phản lực hỗ trợ, hai thành phần không thẳng hàng đều là các thành phần không chịu lực. Nếu ba thành phần gặp nhau và hai thành phần thẳng hàng, thì thành phần thứ ba là thành phần không chịu lực. Không yêu cầu đối xứng.

Ví dụ minh họa 1 (một khớp tại tường). Một khớp tại tường được giữ bởi một thanh ngang và một thanh xiên nâng lên theo góc 3-4-5, chịu tải trọng 3.6 kN $F_{inclined} \times (3/5) = 3.6$ kN lực nén. Mỗi khớp của mọi khung giàn đều trải qua bước giải hai phương trình tương tự như vậy. $F_{inclined} = 6$ kN (lực kéo). Theo phương ngang, thanh ngang nhận $6 \times (4/5) = 4.8$ kN lực nén. Mọi khớp trong mọi giàn khung đều có bước hai phương trình này. bước hai phương trình.

Ví dụ minh họa 2 (dàn hoàn chỉnh, kiểm chứng máy tính, nâng cấp). Một dàn Pratt có sải 6 m chia thành ba ô 2 m, cao 2 m: các khớp dưới A–C–D–B, các khớp trên T1 phía trên C và T2 phía trên D, thanh đứng tại C và D, thanh xiên A–T1 và T2–B, cùng một thanh xiên nội bộ đường chéo T1–D. Tải trọng 4 kN tại C và D; theo đối xứng $R_A = R_B = 4$ kN. Giải tất cả sáu khớp (kiểm tra bằng máy, phần dư còn lại đều bằng 0):

• thanh xiên cuối A–T4 và T1–B: 2 kN lực nén; thanh đứng: 4 kN
• end diagonals A–T1 and T2–B: $4\sqrt{2} = 5.66$ kN compression; verticals: 4 kN (mỗi thanh đứng mang tải trọng từ khớp dưới treo lên thanh ngang trên)
• thanh xiên nội bộ T1–D: không — ô giữa không chịu lực cắt, vì phản lực 4 kN đã được cân bằng bởi tải trọng 4 kN tại C

nên dây dưới bị kéo dãn (lực kéo) và dây trên bị co ngắn (lực nén). Nếu kết quả dây dưới của bạn ra lực nén, hãy tìm xem có sai dấu nào không. Nếu thanh ngang dưới của bạn tính ra bị nén, hãy kiểm tra lại dấu.

Phương pháp cắt kiểm tra một thanh mà không qua các khớp: cắt ô bên phải xung quanh T2, nơi thanh xiên cắt qua. Với quy ước lực kéo mang dấu dương, lực của dây dưới đối với T2, nơi thanh xiên cắt đi. Với quy ước kéo là dương, lực thanh ngang dưới kéo B sang trái dọc theo đường thẳng 2 m dưới T2: $4 \times 2 - F_{bottom} \times 2 = 0$, do đó chịu kéo $F_{bottom} = 4$ kN — phù hợp với kết quả giải từng khớp thông qua cách tiếp cận khác.

Khung và máy có các thành phần chịu nhiều lực; tách rời chúng, vẽ sơ đồ tự do FBD của từng thành với lực khớp bằng nhau và ngược chiều lên thành phần kề, sau đó giải hệ thống từng mảnh một.

Lỗi thường gặp. Đặt tải trọng vào giữa thanh — thanh giàn chỉ chịu tải trọng tại khớp (tải ở giữa làm thanh bị cong so với lý thuyết). Giả sử mọi đường chéo "phải" chịu tải: hãy tìm các thành phần không lực trước. Áp dụng phương pháp cắt qua bốn thành phần: ba thành phần bị cắt là tối đa mà ba phương trình có thể xử lý. Tóm tắt: mỗi khớp cung cấp hai phương trình, mỗi mặt cắt ba; thành phần không lực thu gọn

công việc; nén hay kéo là nội dung báo cáo; khung được tách thành các cặp lực bằng nhau và ngược chiều. các cặp đối.

Một thùng hàng nặng 50 kg đặt trên mặt nghiêng góc 20° và không trượt. Tại sao không — và độ dốc tối đa là bao nhiêu? Lực ma sát là lực duy nhất trong bài học này tự điều chỉnh, và toàn bộ đơn vị đang học cách hỏi "cần bao nhiêu?" trước khi tính toán bất cứ thứ gì.

Ma sát khô chống lại sự trượt tương đối tại điểm tiếp xúc. Trước khi trượt, lực ma sát tự điều chỉnh để phù hợp với bất kỳ giá trị nào đảm bảo cân bằng, cho đến một giới hạn tỷ lệ thuận với lực pháp tuyến:

Ở đây hệ số ma sát nghỉ xác định giới hạn ma sát nghỉ, trong khi hệ số ma sát động áp dụng khi trượt. Tại giới hạn, điểm tiếp xúc ở trạng thái trượt sắp xảy ra và áp dụng đầy đủ trượt. Tại giới hạn tiếp xúc ở trạng thái trượt sắp xảy ra và toàn bộ $R = \sqrt{N^2 + F^2}$ so với phương pháp tuyến. $\phi = \tan^{-1}\mu_s$ từ phương pháp tuyến.

Ví dụ minh họa 167.8 (mặt nghiêng và so sánh kinh điển). Một hộp khối lượng 184.4 kg trên mặt nghiêng

góc 1° (50). Thành phần trọng lực theo chiều dốc: góc nghiêng 20° ($\mu_s = 0.4$). Thành phần trọng lực dọc theo mặt dốc: $490.5\sin 20^{\circ} = 167.8$ N; ma sát khả dụng: $0.4 \times 490.5\cos 20^{\circ} = 184.4$ N. Because $167.8 < 184.4$, khối vật vẫn đứng yên — và lực ma sát thực tế tác dụng chỉ là 167.8 N, không phải 184.4 N. Ma sát nhận đúng lượng cần thiết, không phải lượng tối đa có thể có cung cấp. Góc nghiêng không trượt lớn nhất xảy ra ngay: $\tan^{-1}(0.4) = 21.8°$, chỉ trên 20° — biên độ thực tế nhưng rất mỏng.

Ví dụ minh họa 2 (móc hoặc trượt, tăng dần). Một thùng 0.5 m rộng và 1.0 m cao, có khối lượng 40 kg ($W = 392.4$ N), $\mu_s = 0.5$, bị kéo ngang tại cạnh trên. Trượt cần $P_{slip} = \mu_s W = 0.5 \times 392.4 = 196.2$ N. Ngả quanh cạnh dưới phía trước cân bằng lực kéo với mô-men của trọng lực: $P_{tip} \times 1.0 = 392.4 \times 0.25$, nên $P_{tip} = 98.1$ N. Giá trị nhỏ hơn xảy ra trước: thùng ngả ở 98.1 N, lâu trước khi trượt. Thiết kế thùng cao trên sàn nhám sẽ ngả; thùng thấp trên trơn trượt sẽ trượt — kéo thấp thì cùng một thùng hàng sẽ trượt thay vì ngả.

Lỗi thường gặp. Thiết lập $F = \mu N$ luôn: đó là giới hạn; cân bằng thiết lập Tuyết tích sâu hơn ở giữa nhịp than tại mái hiên — dầm bên dưới không cảm nhận một sai hướng chuyển động — ma sát chống lại chuyển động có thể xảy ra, không phải bất kỳ chuyển động nào bạn có thể tưởng tượng. So sánh các giá trị $P$ mà không kiểm tra xem chúng thuộc về loại mất cân bằng nào. thuộc về.

Tóm tắt: ma sát tự điều chỉnh lên đến $\mu_s N$; so sánh lực cần thiết với lực sẵn có; góc nón $\tan^{-1}\mu_s$ là độ nghiêng tự khóa dốc nhất; đầu chóp so với trượt so sánh hai lực kéo và lấy giá trị nhỏ hơn.

Tuyết tích sâu hơn ở giữa nhịp so với mép mái — dầm bên dưới không chịu một điểm, nó cảm nhận một hình dạng. Kỹ thuật trả lời bằng một bước: thay thế hình dạng bằng tổng tại điểm cân bằng của nó, và mọi công cụ trước đó áp dụng không đổi.

Tải trọng phân bố lan truyền lực dọc theo chiều dài hoặc diện tích (N/m, N/m²). Một trọng tâm là điểm cân bằng của tải trọng: toàn bộ sự phân bố có thể được thay thế bằng hợp lực — tổng độ lớn tác dụng tại trọng tâm.

• Hình chữ nhật (phân $w$ đều trên chiều dài $L$): $R = wL$ tại điểm giữa, $L/2$.
• Tam giác (đỉnh $w_{0}$ ở một đầu trên $L$): $R = w_{0}L/2$ tại $L/3$ từ đỉnh cạnh.

Suy luận tâm tam giác. Một dải tại $x$ từ đầu zero mang cường độ tỷ lệ với $x$, do đó $\bar{x} = \int x \cdot (w_0 x/L)\,dx \,/\, \int (w_0 x/L)\,dx = 2L/3$ from the zero end, which is $L/3$ từ đỉnh — quy tắc một phần ba, giờ đây có gốc tọa độ rõ ràng.

Ví dụ minh họa 1 (dầm tam giác). Tải trọng tam giác tăng từ không đến 6 kN/m trên 4 m trên dầm đơn giản liên kết. Tổng: $R = 6 \times 4/2 = 12$ kN tác dụng tại $4/3 = 1.333$ m từ đầu cao. Phản lực suy ra từ hai phương trình mô-men chính xác như đối với tải trọng tập trung. Khi tải trọng đều và tải trọng tam giác cùng tác dụng lên một dầm, thay thế mỗi loại bằng hợp lực của chúng và cộng lại — phép thay thế này chính xác, không phải xấp xỉ.

Ví dụ minh họa 2 (hai hình dạng, kiểm tra máy, nâng cấp). Một dầm 6 m mang phân bố đều 2 kN/m trên 3 m đầu tiên và phân bố hình tam giác tăng lên đến 4 kN/m trên 3 m cuối cùng. Lực tổng hợp: $R_1 = 6$ kN tại vị trí cách A 1.5 m; $R_2 = 6$ kN tại vị trí cách A 5 m. Mô-men đối với A: $R_B \times 6 = 6 \times 1.5 + 6 \times 5 = 39$, do đó $R_B = 6.5$ kN và $R_A = 5.5$ kN. Kiểm tra lại tại B: $5.5 \times 6 = 33 = 27 + 6$ ✓ (đã xác minh bằng máy).

Với kết quả này, bài toán khép kín vòng lặp: các tải trọng được quy về lực tổng hợp, các lực tổng hợp được đưa vào sơ đồ vật thể tự do, và ba phương trình cân bằng hoàn thành việc giải quyết vấn đề. phân tích vật thể tự do, và ba phương trình cân bằng hoàn thành nhiệm vụ.

Xử lý phần thay thế xấp xỉ: thực chất đây là phép biến đổi chính xác. nằm cách đầu đỉnh $L/3$, luôn như vậy. Chia hình thang với các đầu đỉnh sai. Xử lý phần thay thế xấp xỉ: nó chính xác.

Tóm tắt: mỗi hình dạng trở thành tổng của nó tại trọng tâm — $wL$ tại $L/2$, $w_0L/2$ tại $L/3$ từ đỉnh — sau đó đơn vị 1.5 hoàn tất, chính xác.