AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

Phương pháp năng lượng liên kết bộ dao động lò xo và quỹ đạo, nhưng tọa độ và giả định vật lý của chúng khác nhau.

Điều kiện tiên quyết: 26, 41.

• Xây dựng Hamiltonian đơn giản
• Sử dụng phương trình chuẩn hóa
• Áp dụng quy luật tỷ lệ hấp dẫn và bức xạ

Động lượng chuẩn hóa là p=∂L/∂qdot. Biến đổi Legendre H=p qdot−L cho ta một Hamiltonian khi vận tốc có thể biểu diễn qua tọa độ và động lượng.

Phương trình Hamilton là qdot=∂H/∂p và pdot=−∂H/∂q. Đối với bộ dao động thông thường H=p²/(2m)+kq²/2, các phương trình này tái tạo lại phương trình Newton.

Đối với quỹ đạo tròn do lực hấp dẫn v²=GM/r và chu kỳ²=4π²r³/(GM). Các giả thiết bao gồm khối lượng trung tâm thống trị và xấp xỉ quỹ đạo tròn; quỹ đạo elip sử dụng bán trục lớn trong định luật Kepler. Đối với vệ tinh tròn có khối lượng m, độ lớn động lượng góc là mrv=m sqrt(GMr), nên các vệ tinh giống nhau có L tỷ lệ thuận với sqrt(r). Tỷ số bán kính 9 do đó cho tỷ số động lượng góc 3, trong khi tỷ số chu kỳ là 27. Sự khác biệt này xuất phát từ cùng một hệ thức lực hướng tâm; không sử dụng quy luật tỷ lệ chu kỳ để tính động lượng góc.

Bán sáng và thông lượng nhận được tuân theo F=L/(4πd²) đối với bức xạ đẳng hướng. Một vật đen có L=4πR²σT⁴; đỉnh phổ dịch chuyển nghịch đảo với nhiệt độ. Phân biệt bán sáng nội tại và độ sáng quan sát được.

Đối với Lagrangian chuẩn $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, động lượng chuẩn hóa là

Thay vận tốc vào biến đổi Legendre: Kết hợp các kết quả trên thu được $\ddot q=-(k/m)q$. Việc đảo ngược động lượng để tìm vận tốc là cần thiết; nó không thể được giả định cho mọi Lagrangian bị ràng buộc hoặc suy biến.

Một Hamiltonian chỉ bằng tổng năng lượng cơ học dưới các giả định hệ thống phù hợp; đừng suy diễn điều này một cách phổ quát chỉ từ tên gọi của nó.

động lượng chuẩn hóa: Đạo hàm của Lagrangian theo vận tốc tổng quát.

bán sáng: Tổng công suất phát ra, khác với thông lượng tại người quan sát.