QM · Quantum mechanics and atomic physics

GRE Subject Test · GRE Physics · Chủ đề 5

5.1

Cơ học lượng tử và vật lý nguyên tử

Một hạt trong hộp không thể có năng lượng động học mức cơ bản bằng không. Sự giam giữ của nó làm thay đổi các trạng thái được cho phép.

Kiến thức cần có: 24, 37, 38, 39.

Sử dụng hàm sóng, toán tử và xác suất đo lường
Giải các mô hình trạng thái liên kết tiêu chuẩn và lập luận về hiệu ứng đường hầm
Áp dụng nguyên lý động lượng góc, spin và quang phổ nguyên tử

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
normalisation/ˌnɔːməlaɪˈzeɪʃn/	Chuẩn hóa
operator/ˈɒpəreɪtə/	Toán tử
wavefunction/weɪvˈfʌŋkʃn/	Hàm sóng

5.2

Chọn hệ thống và mô hình

Hàm sóng trạng thái phải thỏa mãn điều kiện biên của mô hình và có tổng xác suất bằng một: tích phân |ψ(x)|² trên miền cho phép. Đối với các trạng thái trực chuẩn φ_j, sự chồng chập ψ=Σc_jφ_j có bình phương chuẩn là Σ|c_j|² vì các số hạng chéo tích phân bằng không. Do đó, sự chồng chập đều của N trạng thái trực chuẩn có độ lớn hệ số là 1/sqrt(N). Xác suất tìm thấy năng lượng thành phần là |c_j|², không phải c_j. Pha tương đối có thể ảnh hưởng đến xác suất vị trí ngay cả khi xác suất năng lượng không đổi.

5.3

Sử dụng quan hệ chi phối

Một đại lượng quan sát được biểu diễn bởi một toán tử Hermitian. Các giá trị riêng của nó là số thực, và một trạng thái đã chuẩn hóa cho giá trị kỳ vọng ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Giá trị kỳ vọng là trung bình qua nhiều lần chuẩn bị lại, không nhất thiết là kết quả của một phép đo duy nhất. Nếu A thỏa mãn đẳng thức đa thức, áp dụng nó lên một trạng thái riêng: đối với A⁴=I, một giá trị riêng thực phải là +1 hoặc −1. Căn bậc tư phức bị loại trừ bởi tính Hermitian mặc dù nó giải được đa thức.

5.4

Áp dụng các điều kiện

Đối với giếng vô hạn 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 cho phép các chế độ sin sin(nπx/L), với n=1,2,… . Năng lượng của chúng là E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), do đó trạng thái cơ bản không bằng không và việc tăng gấp đôi L sẽ chia mọi mức năng lượng đi bốn lần. Biểu thức tương đương h là n²h²/(8mL²); tuyệt đối không thay h cho $\hbar$ mà không có hệ số 2π của nó. Thay vì rào cản hữu hạn, điều này cho phép các đuôi mũ, và sóng lan truyền trong vùng cho phép theo cổ điển có sự phụ thuộc không gian dao động chứ không phải suy giảm mũ.

5.5

Kiểm tra kết luận

Các toán tử giao hoán khi [A,B]=AB−BA=0; các đại lượng quan sát tương thích có thể có cùng cơ sở riêng. Vì động năng p²/(2m) là hàm của p, nó giao hoán với p. Thế năng phụ thuộc vào vị trí nói chung làm cho H=p²/(2m)+V(x) không giao hoán với p. Động lượng góc tuân theo [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z và các hoán vị chu kỳ, trong khi J² giao hoán với từng thành phần. Các chuyển dịch nguyên tử trao đổi năng lượng photon dương bằng đúng sự chênh lệch mức; động lượng góc và các quy tắc chọn lọc cụ thể cơ chế hạn chế những chuyển dịch nào xảy ra.

5.6

Phương pháp giải mẫu

Giếng vô hạn kéo dài từ 0 đến L. Hàm sóng triệt tiêu ở cả hai đầu cho

$$\psi_n=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L),\qquad E_n=n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2).$$

Chuẩn bị $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Tính trực giao làm cho chuẩn của nó bằng một. Phép đo năng lượng cho E1 hoặc 4E1 với xác suất bằng nhau:

$$\langle E\rangle=\tfrac12E_1+\tfrac12(4E_1)=\tfrac52E_1.$$

Giá trị trung bình này không phải là kết quả năng lượng đơn lẻ được cho phép. Pha tương đối thay đổi theo thời gian, do đó sự chồng chập của các mức năng lượng khác nhau không phải là trạng thái dừng.