MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Viết toán tử Laplace của hàm radial là f″ sẽ bỏ sót một số hạng; toán tử thuộc về tọa độ, không phải ký hiệu.

Kiến thức nền tảng: Đại số, vi phân và các thành phần vector.

• Sử dụng độ phân kỳ và toán tử Laplace trong hệ tọa độ được chọn bởi đối xứng
• Giải bài toán giá trị biên phân ly đơn giản
• Kiểm tra sự hội tụ, đơn vị và độ ổn định của một bước cập nhật số ban đầu

Chọn tọa độ dựa trên tính đối xứng trước khi viết các toán tử. Đối với hàm radial trong tọa độ cầu, ∇²f=f″+(2/r)f′, và độ phân kỳ của trường radial A=A_r r̂ là (1/r²)d(r²A_r)/dr. Kiểm tra: A=k r̂/r² có độ phân kỳ (1/r²)dk/dr=0 xa gốc tọa độ, và f=1/r thỏa mãn ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 xa gốc tọa độ. Các dạng Cartesian chỉ áp dụng cho sự phụ thuộc vào Cartesian.

Phương pháp phân ly biến đổi một bài toán giá trị biên thành các chế độ thường. Đối với dây cố định ở hai đầu, viết u=X(x)T(t); phương trình sóng cho X″/X=(1/c²)T″/T=−k², điều kiện cố định ở hai đầu buộc X=sin(nπx/L), và các tần số cho phép là ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Mỗi chế độ phải thỏa mãn điều kiện biên trước khi thực hiện bất kỳ tổng nào qua các chế độ.

Một cập nhật Euler rõ ràng cho y′=−λy là y_{n+1}=(1−λh)y_n, bị chặn khi |1−λh|≤1, tức là 0<h≤2/λ for λ>0; sự suy giảm tiệm cận cần 0<h<2/λ. Với λ=10 /s, h không được vượt quá 0.2 s; h=0.25 s nhân với −1.5 ở mỗi bước và phân kỳ với dấu xen kẽ. Tính ổn định là thuộc tính của phép lặp lại, không phải của nghiệm thực.

Kiểm tra đáp án số học theo ba cách trước khi tin tưởng: đơn vị của mọi số hạng (λh phải không thứ nguyên), hội tụ dưới sự tinh chỉnh (chính phương h và so sánh; sai số Euler rõ ràng là bậc nhất), và trường hợp giới hạn với đáp án chính xác đã biết. Đối với y′=−4y với y0=8 và h=0.2, năm bước cho 8×0.2⁵=0.00256 so với chính xác 8e^(−4)≈0.1465: ổn định nhưng không chính xác, nên tinh chỉnh.

Một trường radial cầu có độ phân kỳ

Đối với $A_r=Cr$, nó cho 3C, không phải C. Đầu dây cố định yêu cầu $X(0)=X(L)=0$, do đó $X_n=\sin(n\pi x/L)$ với số nguyên dương n. Euler cho $\dot y=-\lambda y$ tạo ra $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Đối với h dương, độ ổn định tuyệt đối bị chặn cho phép $h\leq2/\lambda$; sự suy giảm về không yêu cầu bất đẳng thức nghiêm ngặt $0<h<2/\lambda$. Tại điểm cuối trên, nghiệm số xen kẽ mà không suy giảm. Độ ổn định không thiết lập tính chính xác.

Áp dụng toán tử Laplace Descartes cho hàm bán kính, cộng các chế độ vi phạm điều kiện biên, hoặc coi một quá trình tính toán có vẻ ổn định là đã hội tụ mà không tinh chỉnh bước. Gán đúng toán tử, điều kiện biên và điều kiện ổn định với bài toán thực tế.

phân ly biến: Giải phương trình vi phân riêng bằng cách viết ẩn số dưới dạng tích của các thừa số biến đơn.

điều kiện ổn định: Giới hạn bước thời gian ngăn chặn sự khuếch đại sai số trong các quy trình lặp lại số học.