SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

GRE Subject Test · GRE Physics · Chủ đề 45

45.1

Tán xạ Bragg và nhiệt dung khí electron

Xoay tinh thể trong chùm tia X giúp lập bản đồ các mặt nguyên tử của nó, vì phản xạ cộng hưởng chỉ xảy ra ở các góc rời rạc.

Điều kiện tiên quyết: 8, 36.

Áp dụng điều kiện Bragg để tìm khoảng cách giữa các mặt hoặc góc tán xạ
Ước lượng năng lượng Fermi và nhiệt độ Fermi của electron tự do
Phân biệt đóng góp của nhiệt dung điện tử và mạng tinh thể

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
Bragg condition/bræɡ kənˈdɪʃn/	điều kiện Bragg
Fermi energy/ˈfɜːmi ˈenədʒi/	năng lượng Fermi
Bragg diffraction/bræɡ dɪˈfrækʃn/	Nhiễu xạ Bragg

45.2

Áp dụng điều kiện Bragg

Phản xạ Bragg từ các mặt phẳng song song cách nhau d giao thoa tăng cường khi 2d sinθ=nλ, với θ đo từ bề mặt mặt phẳng (góc tới xiên), không phải từ pháp tuyến. Bậc n=1 cho góc nhỏ nhất. Với λ=0.154 nm và cực đại tại θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Nếu 2d<λ thì không có bậc phản xạ; giá trị sinθ phải nằm ở mức ≤1.

45.3

Đọc hằng số mạng

Trong tinh lập phương, khoảng cách giữa các mặt phẳng (hkl) là d=a/sqrt(h²+k²+l²) với a là hằng số mạng; các mặt phẳng (110) cho a/√2. Do đó, góc Bragg đo được sẽ xác định hằng số mạng. Các sự vắng mặt có hệ thống do cơ sở (ví dụ: mạng tâm khối thiếu h+k+l lẻ) cung cấp thông tin cấu trúc vượt ra ngoài công thức khoảng cách.

45.4

Lấp đầy biển electron tự do

Mô hình electron tự do nhồi N electron dẫn vào các trạng thái đến vector sóng Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) với mật độ số n, cho E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Với n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV và T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Vì T_F vượt xa nhiệt độ phòng, chỉ một phần nhỏ tỷ lệ T/T_F của các electron được kích thích nhiệt.

45.5

Tách biệt nhiệt dung

Do đó, kim loại có hai thành phần nhiệt dung ở nhiệt độ thấp: thành phần điện tử γT tuyến tính theo T và thành phần mạng (Debye) βT³. Vẽ đồ thị C/T theo T² sẽ thu được tung độ gốc γ và hệ số góc β. Gần nhiệt độ phòng, phần mạng tiến gần giá trị Dulong–Petit và chi phối; ở nhiệt độ thấp, thành phần điện tử γT áp đảo thành phần mạng βT³ đang giảm dần.

45.6

Phương pháp giải mẫu

Nhiễu xạ Bragg sử dụng góc theta đo từ mặt phẳng tinh thể, không phải từ pháp tuyến của nó.

$$2d\sin\theta=n\lambda,\qquad d=\lambda/(2\sin\theta)=(0.154\,\mathrm{nm})/[2\sin(20^\circ)]=0.225\,\mathrm{nm}.$$

Nhiệt dung kim loại ở nhiệt độ thấp có các thành phần điện tử và mạng riêng biệt:

$$C=\gamma T+\beta T^3,\qquad C/T=\gamma+\beta T^2.$$

Đồ thị C/T theo bình phương T có tung độ gốc gamma và hệ số góc beta. Đường thẳng xác định chế độ của mô hình này.

Trái: các đỉnh Bragg cho λ = 0.154 nm và d = 0.225 nm tại 2θ = 40.0° (n = 1) và 86.4° (n = 2). Phải: C/T theo T² đối với một kim loại — Định luật Bragg 2d sin θ = nλ; C/T = γ + βT² tách biệt điện tử khỏi mạng

45.7

Kiểm tra điều kiện và thuật ngữ

Việc đo θ từ pháp tuyến thay vì từ mặt phẳng, hoặc gán toàn bộ nhiệt dung nhiệt độ thấp cho electron. Điều kiện sinθ và sự phân tách hai thành phần là điểm yếu dẫn đến sai lầm trong tính toán này.

Điều kiện Bragg: Phản xạ tăng cường từ các mặt phẳng mạng khi 2d sinθ=nλ, với θ đo từ mặt phẳng.

Năng lượng Fermi: Mức năng lượng electron cao nhất đã chiếm ở nhiệt độ tuyệt đối không trong mô hình electron tự do.